Supongamos que $f$ es una forma bilineal simétrica no degenerada en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ . Entonces $J = V + F\cdot 1$ es un álgebra de Jordan unital (conocida como álgebra de Jordan del "factor de giro" cuando $F = \mathbb{R}$ y $V = \mathbb{R}^n$ ). Podemos construir el álgebra de Lie $TKK(J) = L = L_{-1} + L_0 + L_1$ mediante la construcción Tits-Kantor-Koecher donde $L_1 \cong L_{-1} \cong J$ . He visto varios trabajos que hacen referencia al hecho de que $TKK(J) \cong K(R, *)$ el álgebra de Lie de los elementos de simetría oblicua en un álgebra asociativa $R$ con involución *. ¿Puede alguien indicarme una prueba de este hecho? En particular, me gustaría saber qué es $R$ y me gustaría una prueba cuando $V$ no es necesariamente de dimensión finita.
Respuesta
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tQuarella
Puntos
113
Esto está contenido en el Libro Azul de Jacobson (Structure and Representations of Jordan Algebras, AMS Colloquium Publications, 1968), como Ejercicio 1 en la p. 342, para campos arbitrarios, y sin suposiciones sobre la dimensión de $V$ .
Más concretamente, dejemos que $W$ sea el $3$ -espacio vectorial de dos dimensiones con forma bilineal $g$ dada por la matriz $\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{smallmatrix} \right)$ y considerar la suma ortogonal $h := f \perp g$ en $U := V \oplus W$ . Entonces $TKK(J)$ es isomorfa al álgebra de Lie de las transformaciones lineales de $U$ que están sesgados con respecto a. $h$ .
