Los mapas de esferas de igual grado son homotópicos

Question

Me gustaría demostrar que si $f,g : \mathbb{S}^n \longmapsto \mathbb{S}^n$ son mapas puntuales con $deg(f) = deg(g)$ entonces $f,g$ son homotópicos.

El grado se define de la siguiente manera: dado $f : \mathbb{S}^n \longmapsto \mathbb{S}^n$ continuos, esto induce $f_* : \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n) \longmapsto \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n)$ Así que existe $d \in \mathbb{Z}$ tal que $f_*(x) = dx$ (esto es porque $\tilde{H}_n(\mathbb{S}^n) \simeq \mathbb{Z}$ ), y definimos $d$ como el grado de $f$ .

Utilizaremos el teorema de Hurewicz de la siguiente forma :

Teorema : Hay un homomorfismo $h_n : \pi_n(X,x_0) \longmapsto H_n(X)$ que es funcional. Si $X$ es $(n-1)$ -conectado $h_n$ es un isomorfismo (o en el caso límite donde $n=1$ es isomorfo al cociente con respecto al subgrupo del conmutador).

Me gustaría entender si mi razonamiento es correcto, y en el caso de que no lo sea, mejorarlo si es posible :

Si $f,g$ tienen el mismo grado, digamos $d$ tenemos $f_*(x) = dx = g_*(x)$ Así que $f_* = g_*$ es decir, inducen el mismo mapa en homología.

Ahora bien, si $n>1$ tomar el diagrama

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi_n(\mathbb{S}^n,x_0) @>{f}>> \pi_n(\mathbb{S}^n,x_0) \\ @VVV @VVV\\ \tilde{H_n}(\mathbb{S}^n) @>{f_*}>> \tilde{H_n}(\mathbb{S}^n) \end{CD}

Donde los mapas verticales vienen dados por $h_n$ y f es el mapa inducido en $\pi_n(\mathbb{S}^n,x_0)$ .

No tengo lo siguiente, pero si $h_n$ es natural en $X$ tenemos un diagrama de conmutación inducido tomando mapas continuos $f : X \longmapsto Y$ ,

$\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi_n(\mathbb{S}^n,x_0) @>{f}>> \pi_n(\mathbb{S}^n,x_0) \\ @VVV @VVV\\ \tilde{H_n}(\mathbb{S}^n) @>{f_* = g_*}>> \tilde{H_n}(\mathbb{S}^n) \\ @VVV @VVV\\ \pi_n(\mathbb{S}^n,x_0) @>{g}>> \pi_n(\mathbb{S}^n,x_0) \end{CD}

Por lo tanto, el diagrama anterior conmuta y esto debería ser suficiente para demostrar que $[f] = [g] \in \pi_n(X,x_0)$ , lo que implica que existe un punto $H : \mathbb{S}^n \times I \longmapsto \mathbb{S}^n$ que es la homotopía considerada.

No me convencen los follownigs :

1. Es $h_n$ natural en $X?$
2. La afirmación es cierta sólo con los mapas puntuales y, por tanto, con la homotopía puntual? (Que sería el caso de esta prueba)
3. ¿Qué pasa con $n = 1?$
4. Si la prueba es correcta, ¿qué parte humeante se puede mejorar?

Cualquier ayuda será apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

1. Sí. El teorema de Hurewicz dice que $h_n$ es functorial .

2. En $\pi_n(X,x_0)$ consideramos efectivamente clases de homotopía puntuales de mapas puntuales. Pero es bien conocido (y fácil de ver) que para los mapas simplemente conectados $X$ el mapa canónico $\pi_n(X,x_0) \to [S^n,X] =$ conjunto de clases libres de homotopía de los mapas $S^n \to X$ es una biyección.

3. Desde $\pi_1(S^1,x_0)$ es abeliana, $h_1 : \pi_1(S^1,x_0) \to H_1(S^1)$ es un isomorfismo. Pero es bien conocido (y de nuevo fácil de ver) que $\pi_1(S^1,x_0) \to [S^1,S^1]$ es una biyección. Se puede, por ejemplo, utilizar el mapa de cobertura $\mathbb R \to S^1$ para demostrarlo. También puede utilizar el hecho de que $S^1$ es un espacio H (incluso es un grupo topológico).

4. Su prueba es correcta.