producto Hadamard de gradiente

Question

Busco calcular lo siguiente:

$\nabla ( \mathbf{1}^T f(X) )$

Dónde:

$\mathbf{1}^T = (1 , \ldots , 1)$ un $1 \times n$ vectorial.

$f(X)= (A*X) \circ (B*X)$

$A$ y $B$ : $n \times n$ matrices

$X$ : $n \times 1$ vector

$\circ$ el producto de Hadamard o de los elementos

$*$ producto matriz.

He leído la siguiente norma $d(X \circ Y) = d(X) \circ Y + d(Y) \circ X$

Pero en lo anterior tengo una mezcla de matriz y producto de elementos (las dimensiones son consistentes al final $\mathbf{1}^T f(X) $ es de tamaño $1 \times 1$ )

Answer 1

Denotemos los productos elemental/Hadamard e interno/Frobenius respectivamente como $$\eqalign{ A &= B\circ C \cr \alpha &= B:C = {\rm tr}(B^TC) \cr }$$ Recordemos que estos productos son conmutativos, y mutuamente conmutativos $$\eqalign{ A\circ B &= B\circ A \cr A:B &= B:A \cr A:B\circ C &= A\circ B:C \cr }$$ y que la matriz de todos los unos es el elemento de identidad del producto de Hadamard. Nótese que las matrices $(A,B,C)$ deben tener la misma forma para que estos productos tengan sentido.

Su función escalar puede escribirse como $$\eqalign{ y &= 1:f \cr &= 1:(Ax)\circ(Bx) \cr &= Ax:Bx \cr }$$ Cuyo diferencial y gradiente son $$\eqalign{ dy &= A\,dx:Bx + Ax:B\,dx \cr &= Bx:A\,dx + Ax:B\,dx \cr &= (A^TB + B^TA)\,x:dx \cr \cr \frac{\partial y}{\partial x} &= (A^TB + B^TA)\,x \cr\cr }$$ (Nótese que he utilizado la yuxtaposición en lugar de $*$ para el producto matricial ordinario).