Me parece que el término general de esta serie no tiende a cero : $\left(n\ln\left(1+\frac1n\right)\right)^n\sim n^n\frac1{n^n}=1$ así que $\frac 1{\left(n\ln\frac{n+1}n\right)^n}\ge1$ .
¿Estoy en lo cierto?
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Kf-Sansoo
Puntos
43568
La serie no converge porque el término general no tiende a cero. Sea $a_n = \dfrac{(-1)^n}{\left(n\ln(1+\frac{1}{n})\right)^n}$ . Consideremos la subsecuencia $(a_n)$ con $n$ incluso. Para el caso $n$ está en paz, $(-1)^n = 1$ Así que $a_n = \dfrac{1}{\left(n\ln(1+\frac{1}{n})\right)^n} = \dfrac{1}{\ln\left((1+\frac{1}{n})^n\right)^n}$ . Pero $1 < (1+\frac{1}{n})^n < e$ $\forall n$ ( se puede demostrar por inducción en $n$ ). Así que: $\ln(1+\frac{1}{n})^n < \ln e = 1$ Esto implica que $\dfrac{1}{\ln(1+\frac{1}{n})^n} > 1$ $\forall n$ Así que $a_{2n} > 1$ $\forall n$ . Así que: $\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_{2n} \geq 1$ . Dado que existe una sucesión de $(a_n)$ que no converge a $0$ la propia secuencia $(a_n)$ no puede converger a $0$ , lo que significa que la serie no puede converger.
Hay varios problemas con el intento propuesto:
- si $a_n\sim b_n$ no es necesariamente cierto que $a_n^n\sum b_n^n$ (por ejemplo, tomar $a_n=\frac 1n$ y $b_n=\frac 1{n+1}$ );
- si $a_n\sim b_n$ y $a_n,b_n\gt 0$ no es necesariamente cierto que $a_n\geqslant b_n$ para $n$ suficientemente grande (pero es cierto que $a_n\geqslant b_n/2$ para $n$ suficientemente grande).
Sin embargo, utilizando la desigualdad $\log (1+x)\leqslant x$ válido para $x\geqslant 0$ con $x:=1/n$ obtenemos $n\log (1+1/n)\leqslant 1$ Por lo tanto $$\left(n\log\left(1+\frac 1n\right) \right)^n\leqslant 1$$ y el término general de la serie tiene un valor absoluto mayor o igual a $1$ por lo que la serie no converge.
