¿Fórmula explícita para floor(x)?

Question

En la teoría de números tenemos las llamadas fórmulas explícitas en términos de los ceros de la zeta de Riemann. Por ejemplo, para contar la suma de los logaritmos de los primos por debajo de un número entero dado.

(segunda función de Chebyshev)

Consideremos la función suelo : http://mathworld.wolfram.com/FloorFunction.html

¿Existe una fórmula explícita que consista en funciones elementales?

Si no, ¿por qué no?

¿Tal vez en términos de los ceros de otra función especial?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ , donde $\{x \}$ (la parte fraccionaria de $x$ ) es periódica con periodo $1$ con una discontinuidad de salto en puntos enteros. Intentemos escribir $\{x\}=f\left(\cot \pi x\right)$ ya que $\cot \pi x$ tiene la misma propiedad. Necesitamos $f(y)\rightarrow 0$ como $y\rightarrow \infty$ , $f(y)\rightarrow 1$ como $y\rightarrow -\infty$ y la interpolación arco-tangente-y correcta en el medio. Lo que funciona es $f(y)=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\tan^{-1}y$ . Poniendo las cosas en su sitio, $$ \lfloor x \rfloor=x-\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\tan^{-1}(\cot \pi x). $$

Answer 2

No creo que vayas a encontrar una fórmula explícita para la función suelo y aquí tienes el porqué,

$nextprime(n)= 1+\sum_{j=1}^{2n}\lfloor\frac{n!^j}{j!}\rfloor-\lfloor\frac{n!^j-1}{j!}\rfloor$

$prevprime(n)=n+1-\sum_{j=1}^{n}\lfloor\frac{j!^{n-1}}{(n-1)!}\rfloor-\lfloor\frac{j!^{n-1}-1}{(n-1)!}\rfloor$

El mayor factor primo de $n$ $=n+1-\sum_{j=1}^{n}\lfloor\frac{j!^n}{n}\rfloor-\lfloor\frac{j!^n-1}{n}\rfloor$

El primo más pequeño coprimo de $n=1+\sum_{j=1}^{n}\lfloor\frac{n^j}{j!}\rfloor-\lfloor\frac{n^j-1}{j!}\rfloor$

La lista es interminable. Si hubiera una fórmula explícita para la función suelo, cualquier cosa que tuviera que ver con los primos tendría solución. Hazme saber si la encuentras. (:

Answer 3

He obtenido una fórmula explícita para $S(x)=Floor(x)$ a partir de la fórmula explícita de $Q(x)$ basado en la relación entre $S(x)$ y $Q(x)$ . El $c(n)$ El coeficiente al que se hace referencia en (3) implica tanto una convolución de Dirichlet como una inversa de Dirichlet, pero creo que se simplifica de manera que $c(n)=1$ cuando $n$ es un número entero cuadrado ( $n\in\{1,4,9,16,...\}$ ) y $c(n)=0$ cuando $n$ no es un entero cuadrado.

(1) $\quad Q(x)=\sum\limits_{n=1}^x a(n)\,,\quad a(n)=\left|\mu(n)\right|$

(2) $\quad Q_o(x)=\frac{6\,x}{\pi^2}+\sum\limits_{k=1}^K\left(\frac{x^{\frac{\rho_k}{2}}\zeta\left(\frac{\rho_k}{2}\right)}{\rho_k \zeta'\left(\rho_k\right)}+\frac{x^{\frac{\rho _{-k}}{2}}\zeta \left(\frac{\rho_{-k}}{2}\right)}{\rho_{-k}\zeta'\left(\rho_{-k}\right)}\right)+1+\sum\limits_{n=1}^N\frac{x^{-n}\,\zeta(-n)}{(-2\,n)\,\zeta'(-2\,n)}\,,\\$ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad K\to\infty\land N\to\infty$

(3) $\quad S_o(x)=\sum_\limits{n=1}^x c(n)\,Q_o\left(\frac{x}{n}\right)$

El siguiente gráfico ilustra $S_o(x)$ (naranja) evaluado en $K=N=200$ . $S(x)$ se ilustra en azul como referencia, pero se oculta en su mayor parte bajo la evaluación de $S_o(x)$ . La parte discreta roja del gráfico ilustra la evaluación de $S_o(x)$ a valores enteros de $x$ .

Answer 4

La forma estándar en la teoría analítica de los números para tratar con sumas que implican la función suelo es (a) estimarla trivialmente o (b) utilizar el análisis de Fourier. En ambos casos, la idea es que \[\lfloor x \rfloor = x - \{x\},\] donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$ . Trivialmente, se tiene \N-[0 \leq \{x\} < 1,\] y a menudo esto es suficiente para las aplicaciones. Alternativamente, se puede utilizar el análisis de Fourier, ya que esto es esencialmente una función de diente de sierra, que tiene la expansión de Fourier \[\x\} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi i} \suma_{substancia} {m = -\infty \ m \neq 0}^{infty} \frac{1}{m} e^{2\pi i mx}.\f] En la práctica, se utiliza la suma parcial \[S_M \{x\} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi i} \sum_{substancia}{m = -M \\\\\q 0}^{M} \frac{1}{m} e^{2\pi i mx},\] que satisface \[S_M \{x\} = \{x\} + O\left(\frac{1}{1 + \|x| M}\right),\] donde $\|x\|$ denota la distancia desde $x$ al número entero más cercano. En particular, $S_M \{x\}$ está uniformemente acotado en $M$ para todos $x$ y converge puntualmente en casi todas partes a $\{x\}$ como $M$ tiende al infinito.