Demostrar que para m > 0, se cumple la siguiente identidad: $\sum_{k=0}^m (-1)^{m-k}{n+k-1\choose k}{n\choose m-k} = 0$

Question

¿Cómo debo abordar esta prueba? Lo haría por fuerza bruta porque mis conocimientos son mínimos. ¿Se puede hacer combinatoria? Cómo proceder con el signo alterno también me ha dejado perplejo.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[#ffd,10px]{\ds{% \sum_{k = 0}^{m}\pars{-1}^{m - k}{n + k - 1 \choose k}{n \choose m - k}}} = \sum_{k = 0}^{\infty}\pars{-1}^{m - k}\ \overbrace{\bracks{{-n \choose k}\pars{-1}^{k}}} ^{\begin{array}{l} \mbox{Negating} \\ \mbox{the Binomial} \end{array}} \ {n \\Nelegir m - k} [5mm] = &\\\N- \\N - pars{-1}^{m}\Nsuma_{k = 0}^{{infty} {-n \\\N elija k}\\Nde los pars^{m - k}\Nde 1 + z}^{{n} = \\N - 1}^{m}\N - bracks{z^{m}\Npars{1 + z}^{n}\Nsuma_{k = 0}^{infty} {-n \\N - elija k}z^{k} \\N - [5mm] = &\\N- \pars{-1}^{m}\\\\\Nde los pars{1+z}^{n}\Nde los pars{1+z}^{n} = \pars{-1}^{m}\bracks{z^{m}}z^{0} = \bbx{delta_{m0}} \fin{align}

Answer 2

Empieza por manipular el sumando \begin{eqnarray*} \binom{n+k-1}{k} \binom{n}{m-k}= \frac{n}{m} \binom{m}{k} \binom{n-k-1}{m-1}. \end{eqnarray*} Ahora exprese el segundo coeficiente binomial como el coeficiente de la función a \begin{eqnarray*} \binom{n-k-1}{m-1} = [x^{m-1}]: (1+x)^{n-k-1} \end{eqnarray*} Así que \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k} \binom{m}{k} \binom{n-k-1}{m-1} &=& \frac{(-1)^{m}n}{m} \sum_{k=0}^{m} (-1)^{k}\binom{m}{k} \binom{n-k-1}{m-1} \\ &=& \frac{(-1)^{m}n}{m} [x^{m-1}]: \sum_{k=0}^{m} (-1)^{k}\binom{m}{k} (1+x)^{n-k-1} \\ &=& \frac{(-1)^{m}n}{m} [x^{m-1}]: (1+x)^{n-1} \left( 1- \frac{1}{1+x} \right)^m \\ &=& \frac{(-1)^{m}n}{m} [x^{m-1}]: (1+x)^{n-m-1} x^m =\color{red}{0}. \\ \end{eqnarray*}