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Significado geométrico de la secuencia de Euler en $\mathbb{P}^n$ (Ejemplo 8.20.1 en el Capítulo II de Hartshorne)

¿Hay alguna forma geométrica de entender la secuencia exacta en el Ejemplo 8.20.1 en el Capítulo II de Hartshorne (p. 182), o su dual del teorema 8.13?

Aquí está la secuencia:

$0\to O{\mathbb{P}^n}\to O{\mathbb{P}^n}(1)^{n+1}\to T_{\mathbb{P}^n}\to 0$

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