Supongamos que $(X_n)$ es una secuencia de variables aleatorias independientes con $\mathbb{P}(X_n = 1) = \mathbb{P}(X_n = -1) = \frac{1}{2}$ y $(a_n)$ una secuencia de números reales.
Demostrar que $\sum\limits_{i\leq n} a_i X_i$ converge casi con seguridad si y sólo si $\sum\limits_{i\leq n}a_i^2$ converge.
Realmente agradecería una pista para la dirección en la que asumo que $\sum\limits_{i\leq n} a_n X_n$ converge casi con seguridad. La otra dirección me resultó más fácil; la demostré con el teorema de las tres series de Kolmogorov. Intenté demostrarlo indirectamente mirando la tercera serie del teorema de las tres series de Kolmogorov: $$\sum\limits_{i\leq n} Var(a_i X_i [\vert a_i X_i \vert \leq \varepsilon]) = ... = \sum\limits_{i\leq n} a_i 1_{[\vert a_i \vert \leq \varepsilon]}.$$
