¿Cómo se relacionan los grupos de Brauer con las funciones zeta?

Question

Hay dos enfoques de la teoría del campo de clases que me enseñaron. El primero, es la teoría de $L$ -funciones, caracteres de Dirichlet, etc. (que he descrito sucintamente en la pregunta ¿Cuáles son los pilares de Langlands? que pregunté hace tiempo), y la otra es a través de los grupos Brauer.

Para ser precisos, me enseñaron que el siguiente esbozo es la teoría del campo de la clase:

Dejemos que $K$ sea un campo numérico. Sea $v$ sea cualquier lugar no arquimédico. Entonces hay algún isomorfismo explícito $inv_v:Br(K_v)\rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ . Si $v$ es un lugar arquimédico, entonces existe un isomorfismo explícito $inv_v:Br(K_v)\rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ si $K_v$ es $\mathbb{R}$ y $0$ si $K_v$ es $\mathbb{C}$ .

Además, la siguiente secuencia es exacta:

$1\rightarrow Br(K)\rightarrow \bigoplus_v Br(K_v)\rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\rightarrow 1$

donde el primer morfismo es obvio, y el último morfismo es $\sum_v inv_v$ .

Considero que ambos enfoques tienen mucho contenido, pero no está claro que la gente piense en ellos como equivalente . ¿Cómo se construye un diccionario entre un enfoque y otro?

Answer 1

El cálculo del grupo de Brauer es sólo la "primera mitad" de la teoría de campos de clases. La razón principal por la que uno está interesado en el grupo de Brauer es que para una extensión de Galois finita $L/K$ , digamos de campos locales, el producto taza por un generador de $H^2(G_{L/K},L^\times)$ da un isomorfismo entre $G^{ab}(L/K)$ y $K^\times/N_{L/K}L^\times$ . Este es el mapa de reciprocidad, la parte central de la teoría de campos de clases (locales). Pasando al límite sobre todas las extensiones finitas de Galois se obtiene un isomorfismo entre $W_K^{ab}$ y $K^\times$ , donde $W_K$ es el grupo de Weil de $K$ . Dualizando esto se establece una biyección entre las representaciones unidimensionales de $W_K$ (son unidimensionales, porque son las que se factorizan a través de la abelianización), y representaciones irreducibles de $K^\times=GL_1(K)$ . Esta biyección resulta tener todas las propiedades agradables conocidas y da la correspondencia local de Langlands para $GL_1$ .

En otras palabras, el vínculo entre el grupo de Brauer y la formulación "tipo Langlands" de la teoría de campos de clases es que el cálculo del grupo de Brauer se utiliza para definir el mapa de reciprocidad y para demostrar todas sus buenas propiedades. El cálculo del grupo de Brauer por sí mismo no establece los principales resultados de la teoría de campos de clases.

Answer 2

La teoría global del campo de clases se refiere típicamente a la existencia de un isomorfismo particular (junto con varias compatibilidades) $G(K/k)^{ab}\simeq C_k/N_{K/k} C_K$ , donde $K$ es una extensión de Galois finita. Esto se puede reformular, mediante la dualización, para decir algo sobre una correspondencia entre caracteres en $G(\bar k/k)$ y personajes en $C_k$ . Estos enunciados serán equivalentes, pero las pruebas diferentes pueden no serlo...

Creo que se puede demostrar a través del método de Taylor-Wiles (Kowalski lo menciona en un trabajo de investigación refiriéndose a notas no publicadas de una clase que Tunnell impartió). Pero las pruebas de la teoría global de campos de clases que I saben que son esencialmente cohomológicas (aunque eviten decirlo). La afirmación sobre los grupos de Brauer que has hecho es esencialmente lo que se necesita para demostrar que $(G(\bar k/k),C_{\bar k})$ es una formación de clases, a partir de la cual es necesario un poco más de trabajo para demostrar la teoría del campo de clases (aunque se pueden deducir leyes de reciprocidad a partir de ella).