¿Estimación de la cola de la serie de potencias de la función exponencial?

Question

Me gustaría tener una estimación de la serie infinita $$ \sum_{k=B}^\infty \frac{A^k}{k!}, $$ donde $A$ es una gran cantidad positiva y $B$ es sólo un poco más grande que $A$ a saber, $B = A + C \sqrt A$ para alguna constante positiva grande y fija $C$ . (En mi aplicación, $A$ y por lo tanto $B$ son funciones crecientes de alguna otra variable, pero $C$ realmente se mantendrá fijo).

Espero que la respuesta sea algo así como $$ ?\ \sum_{k=B}^\infty \frac{A^k}{k!} \ll e^{-C^2/2} \ \ ? $$ uniformemente en $A$ , $B$ y $C$ . (Sería estupendo poder citar una estimación de este tipo "sin más". Sólo he podido encontrar tales estimaciones cuando $B$ es sustancialmente mayor que $A$ como por ejemplo $B > 5A$ .

¿Alguien sabe de un límite de este tipo en la literatura? Muchas gracias.

Answer 1

Consideremos en cambio la suma

$$ \sum_{k = A + C \sqrt{A}}^\infty {e^{-A} A^k \over k!} $$ que por supuesto difiere de la suya sólo por un factor de $e^{-A}$ .

Entonces esta suma es la probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson de media $A$ es al menos $A + C\sqrt{A}$ .

Un Poisson con media $A$ tiene una desviación estándar $\sqrt{A}$ y como $A \to \infty$ los Poissons se vuelven asintóticamente normales. Así que tenemos

$$ \sum_{k = A + C \sqrt{A}}^\infty {e^{-A} A^k \over k!} \to \Phi(C) $$

como $A \to \infty$ , donde $\Phi$ es la FCD de la normal estándar. Así que su suma es asintótica a $e^A \Phi(C)$ .

Alternativamente, si quieres una desigualdad explícita, tu suma puede estar acotada arriba por la serie geométrica con el primer término $A^B/B!$ y la proporción del término común $A/B$ . Por lo tanto, su suma es inferior a $$ {A^B \over B!} {1 \over 1-A/B} $$ y esto se puede reescribir como $$ {A^B \over B!} \left( 1 + {\sqrt{A} \over C} \right) $$ El producto $A^B/B!$ es, como $A \to \infty$ con $B = A + C \sqrt{A}$ , $$ {1 \over \sqrt{2\pi}} e^{-C^2/2} A^{-1/2} e^A (1+o(1))$$ por la fórmula de Stirling. En el factor $1 + \sqrt{A}/C$ podemos descuidar $1$ como $A \to \infty$ , por lo que obtenemos que

$$ \sum_{k = A+C\sqrt{A}}^\infty {e^{-A} A^k \over k!} \le {1 \over \sqrt{2\pi}} C e^{-C^2/2} e^A (1 + o(1)) $$

Por ejemplo, la doble desigualdad (26) aquí debería ser posible obtener límites explícitos.

Answer 2

La desigualdad exponencial produce límites explícitos como sigue. Para cada $B\ge A$ , considere la serie $$ S(A,B)=\sum_{k=B}^{+\infty}\frac{A^k}{k!}. $$ Luego, como observó Michael Lugo, $\mathrm{e}^{-A}S(A,B)=P(N_A\ge B)$ , donde $N_A$ es una variable aleatoria de Poisson con parámetro $A$ .

Por cada positivo $t$ , $N_A\ge B$ si y sólo si $\mathrm{e}^{tN_A-tB}\ge1$ y para toda variable aleatoria no negativa $X$ , $P(X\ge1)\le E(X)$ . Usando esto para $X=\mathrm{e}^{tN_A-tB}$ se obtiene $$ \mathrm{e}^{-A}S(A,B)\le E(X)=E(\mathrm{e}^{tN_A})\ \mathrm{e}^{-tB}. $$ Para ir más allá, se utiliza el hecho de que la transformada de Laplace $E(\mathrm{e}^{tN_A})$ de una distribución de Poisson es $\mathrm{e}^{A(\mathrm{e}^t-1)}$ y se optimiza el límite superior con respecto a $t\ge0$ . Es decir, se introduce en la desigualdad el valor de $t$ tal que $\mathrm{e}^t=B/A$ , lo que da como resultado $$ S(A,B)\le\mathrm{e}^{B-B\log(B/A)}. $$ Nótese que esta cota superior no es asintótica (lo cual es bonito) pero que, en general, no es óptima en el régimen del teorema central del límite que te interesa (lo cual no es tan bonito).

Volviendo al caso en el que $A\to\infty$ y $B=A+C\sqrt{A}$ con $C>0$ fija, la expansión de $\log(B/A)$ hasta la orden $o(1/A)$ produce $$ S(A,A+C\sqrt{A})\le\mathrm{e}^{A-C^2/2+o(1)}=\mathrm{e}^{-C^2/2}\mathrm{e}^A(1+o(1)). $$ Que es una forma (muy impar) de comprobar que $\Phi(C)\le\mathrm{e}^{-C^2/2}$ ...

Editar : Límite superior no asintótico : $$ S(A,A+C\sqrt{A})\le\mathrm{e}^{-C^2/2}\mathrm{e}^{A}\exp(C^3/(2\sqrt{A})). $$

Answer 3

Se puede demostrar, utilizando http://dlmf.nist.gov/8.12.E18 y la fórmula de Stirling que $$ \sum\limits_{k = A + C\sqrt A }^\infty {\frac{{A^k }}{{k!}}} = \frac{{\gamma (A + C\sqrt A ,A)}}{{\Gamma (A)}} = \Phi (C) {\rm e}^A + {\rm e}^{ - \frac{{C^2 - 2A}}{2}} \mathcal{O}\!\left( {\frac{{C^2 }}{{\sqrt A }}} \right) $$ como $A\to+\infty$ de manera uniforme con respecto a $C$ proporcionó $C =\mathcal{O}(A^{1/6-\varepsilon})$ .