En la criba general de campos numéricos, ¿necesitamos saber si las potencias de los elementos de la base factorial algebraica dividen a un elemento $a+b\theta$ ?

Question

Estoy leyendo este documento tratando de implementar el tamiz del campo numérico.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?rep=rep1&type=pdf&doi=10.1.1.219.2389

Dejemos que $\theta$ sea la raíz de algún polinomio irreducible mónico en $\mathbb{Z}[X]$ y que $A = \lbrace a_i + b_i \theta \rbrace $ sea una base factorial algebraica en $\mathbb{Z}[\theta]$ . Dejemos que $l \in A$ . A efectos del algoritmo, cuando se busca $A$ -Elementos lisos en el anillo numérico algebraico $\mathbb{Z}[\theta]$ ¿necesitamos saber si los poderes de $l$ dividir un elemento dado de $\mathbb{Z}[\theta]$ ? ¿O podemos salirnos con la nuestra y saber sólo si $l$ ¿lo hace?

Answer 1

Hay que conocer el poder de $l$ dividir al candidato $\alpha$ se considera que es suave, pero sólo modulo $2$ . Es decir, sólo se necesita saber si la potencia es impar o par. Si se reúnen suficientes de estos números suaves, entonces resolviendo un cierto sistema de ecuaciones modulo $2$ Con los coeficientes determinados por estas potencias, se puede determinar qué números suaves hay que multiplicar para producir un cuadrado perfecto.

Permítanme decir que el documento al que hacen referencia tiene algunos defectos importantes. (Edición: parece ser un trabajo escrito por un estudiante en el curso ECE 575 de la Universidad Estatal de Oregón). Hay numerosos problemas menores, como pequeñas suposiciones omitidas de la no-certeza, etc. Pero como teórico de números algebraicos, puedo decir que el artículo no está escrito por alguien con una formación adecuada en teoría de números algebraicos. Los resultados que el autor afirma sin pruebas son verdaderos sólo bajo suposiciones muy pesadas -- que el conjunto $\mathbb{Z}[\theta]$ definido en la p.4 de su referencia es el anillo completo de enteros en el campo numérico algebraico $\mathbb{Q}(\theta)$ y que forma un dominio de factorización único. Ninguna de las dos cosas es necesaria con la configuración que describe.

Un documento mucho más cuidado es

http://scholar.lib.vt.edu/theses/public/etd-32298-93111/materials/etd.pdf

Las cuestiones que acabo de mencionar se resumen al principio de la sección 3.1. Señala que los primeros trabajos sobre el SNFS hizo asume las condiciones que menciono arriba, y da la exposición adecuada de los resultados de la teoría algebraica de números si se quiere trabajar sin asumir estas condiciones, incluyendo algunas pruebas.

Si no tienes la base para este artículo, podrías conseguirla leyendo algo de la teoría de anillos conmutativos, hasta los ideales primos y máximos y las propiedades de los anillos polinómicos, y luego leyendo un libro de teoría algebraica de números, quizás a través de la teoría de la ramificación, pero probablemente podrías salirte con la tuya con menos para entender el artículo que he enlazado.