Puede haber un Diaconis-Shahshahani límite Superior Lema para Grupos Compactos?

Question

Deje $G$ ser finito grupo y $\nu\in M_p(G)\subset \mathbb{C} G$ una medida de probabilidad en $G$ y deje $\pi$ ser la distribución uniforme en $G$.

Denotar por $d_\rho$ la dimensión de un no-trivial irreductible representación unitaria $\rho:G\rightarrow \operatorname{GL}(V_\rho)$ y definir un mapa de $\mathbb{C}G\rightarrow \operatorname{GL}(V_\rho)$ por:

$$\nu\mapsto \widehat{\nu}(\rho)=\sum_{t\in G}\nu(\delta_t)\rho(t).$$

Denotar por $\operatorname{I}^*(G)$ una familia de no trivial, de a pares no equivalentes irreductible unitario de representaciones.

Denotar por $\|\cdot\|_{\text{TV}}$ de la variación total de la norma en $\mathbb{C} G$:

$$\|\mu\|_{\text{TV}}=\frac12 \|\mu\|_1=\frac12 \sum_{t\in G}|\mu(\delta_t)|.$$

El límite Superior Lema de Diaconis Y Shahshahani establece que:

$$\|\nu-\pi\|_{\text{TV}}^2\leq \frac14 \sum_{\rho\in\operatorname{I}^*(G)}d_\rho \operatorname{Tr}\left[\widehat{\nu}(\rho)^*\widehat{\nu}(\rho)\right].$$

Esto puede ser usado para analizar la tasa de convergencia de caminos aleatorios en grupos finitos. Por ejemplo, en mi propia tesis MSc.

Donde $h$ es la medida de Haar, puede una fórmula similar para $\|\nu-h\|$ presionado por grupos compactos? Si sí, ¿eres consciente de referencia? Si no, ¿cuáles son las barreras?

Similar aquí significa una fórmula que utiliza una $\sum_{\operatorname{I}^*(G)}$. Espero que el problema es con la norma $\|\cdot\|_{\text{TV}}$.

Tenga en cuenta que uno de los beneficios de la utilización de la variación total de la norma es que los límites inferiores también están disponibles a través de:

$$\|\mu\|_{\text{TV}}\geq \frac12 |\mu(\phi)|,$$

para una función de prueba de $\phi\in F(G)$ tal que $\|\phi\|_{\infty}\leq 1$.

En la 2-norma:

$$\|\mu\|_2=\sqrt{\sum_{t\in G}|\mu(\delta_t)|^2},$$ el límite superior lema es en realidad una ecuación:

$$\|\nu-\pi\|_2=\sqrt{\sum_{\rho\in\operatorname{I}^*(G)}d_\rho \operatorname{Tr}\left[\widehat{\nu}(\rho)^*\widehat{\nu}(\rho)\right]}.$$

Una Respuesta Parcial:

Hay un papel de Rosenthal (un estudiante de Diaconis) donde afirma que

El anteriormente mencionado finito-grupo métodos parecen ser aplicables a grupos compactos.

El Diaconis-Shahshahani límite Superior Lema es uno de estos métodos mencionados anteriormente.

Revisado Pregunta:

Por lo tanto, la pregunta es revisado, pero es más difícil y de mucho más suave en su ámbito de aplicación:

¿Cuáles son los principales obstáculos para la aplicación de la Diaconis-Shahshahani Superior Obligado Lema para una caminata al azar en un grupo compacto?

Answer 1

Me parece estar en una buena posición para responder a esto, así que le dará una oportunidad. Tuve la suerte de trabajar en la extensión natural de Rosenthal de la caminata al azar en $SO(2n+1)$, es decir, el caso en que el ángulo de rotación $\theta \neq \pi$. Aún más por suerte me dieron la ayuda de compañeros de la estudiante de postgrado en el tiempo, Bob Hough, quien contribuyó con la visión crítica que nos permitió terminar el análogo límite superior de este documento. Todos los detalles se pueden encontrar en el segundo.

El límite superior de la fórmula obtenida por Rosenthal es $$ \| \nu_t - \pi \|_\rm{TV}^2 \le \sum_{\mathbf{a} \neq (0,\ldots, 0) } d_{\mathbf{a}}^2 r_{\mathbf{a}}(\theta)^{2}. $$ donde $r_{\mathbf{a}}(\theta)$ es el llamado carácter de relación (es decir, el carácter dividido por dimensión), que Rosenthal calculadas usando Weyl carácter/dimensión de la fórmula para ser $$ r_{\mathbf{a}}(\theta) := \frac{\chi_{\mathbf{a}}( R(1,2;\theta))}{d_{\mathbf{a}}} = \frac{(2n-1)!}{\left(2 \sin \frac{\theta}{2}\right)^{2n-1}} \sum_{j=1}^n \frac{\sin (\tilde{a}_j \theta)}{\tilde{a}_j \prod_{i \neq j} \left(\tilde{a}_r^2 - \tilde{a}_j^2\right) }. $$ Aquí

• $R(1,2;\theta) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & \\ \sin \theta & \cos \theta &\\ & & I_{N-2} \end{array} \right) $, and can be replaced by any of its conjugate in $SO(2n+1)$.
• $\mathbf{a}$ es una secuencia $n$ débilmente el aumento de números enteros no negativos, y $\tilde{a}_j = a_j + j -1/2$, es decir, $\mathbf{a} + (1/2,3/2,\ldots, n-1/2)$ es el correspondiente peso máximo del vector (mi convenio es contrario de Macdonald libro, pero en consonancia con Rosenthal del papel). El$\mathbf{a}$, por lo que se describe índice de todas las representaciones irreducibles de $SO(2n+1)$, así como las particiones de longitud $n$ índice de representaciones irreducibles de $GL(n)$.

El objetivo es mostrar que cada una de $d_\mathbf{a}^2 r_\mathbf{a}(\theta)^2 = o(1)$, a excepción de $\mathbf{a} = (0,\ldots, 0)$ correspondiente a la 1-dimensional trivial representación. Al $\theta = \pi$, la fórmula para $r_\mathbf{a}(\theta)$ puede estar delimitado por tomar valor absoluto de cada sumando. Sin embargo, cuando se $\theta \neq \pi$ aviso que el antecedente denominador $(2\sin \frac{\theta}{2})^{2n-1}$ aumenta de forma exponencial en $n$, y la suma es muy oscilatoria, haciendo que el valor absoluto obligado demasiado débil.

Lo que Bob descubierto es que la suma se puede escribir como una integral de contorno, utilizando el teorema de los residuos. Por lo tanto uno puede apelar a punto de silla de técnicas que se utilizan comúnmente en la estimación de los coeficientes de las distintas funciones de generación relacionados con la combinatoria o el número teórico de cantidades, tales como el número de la partición o la fórmula de Stirling.

Similar caminos aleatorios en $SO(2n)$, $Sp(n)$ y con clases conjugacy con múltiples ángulos de rotación "debe" seguir demanda similar, aunque incluso para el single $\theta$ caso de que ya estaba en la mente increíblemente tedioso (al menos para mí).

En general yo diría que las barreras comparación con el grupo discreto clase conjugacy caminatas son

• Usted tiene el control de un número infinito de representaciones irreducibles
• Usted necesidad de acotar los valores de Schur polinomios o sus Laurent análogos en el círculo unidad en el plano complejo, en contraposición a los caracteres de grupos finitos; esto podría ser un poco menos desarrollados, ya que la mayoría de las personas que están interesadas en la delimitación de polinomios simétricos vista como un valor real de las funciones. También gente como Diaconis y Aner Shalev y otros de paseo aleatorio teóricos más interesado en discretos de configuración, por lo tanto han pasado un montón de energía, el desarrollo de los límites para la simétrica caracteres $\chi^\lambda_\nu$.