En esta conferencia ( https://engineering.purdue.edu/~ragu/confpapers/Bal302-talk.pdf ) página $14$ se dice que para una matriz real $A$ y una matriz simétrica positiva definida $P$ la declaración $$ A^T P + P A < 0 $$ es equivalente a $$ Q A^T + A Q < 0 $$ con $Q = P^{-1}$ . No soy capaz de probarlo. ¿Puede alguien darme una pista?
Respuesta
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Se le da que $$A^T P + P A < 0$$ lo que significa que para cualquier $z \in \mathbb{R}^n$ , usted tiene $$z^T( A^T P + P A) z < 0$$ Desde $Q$ es de rango completo, esto significa que si $y$ abarca $\mathbb{R}^n$ entonces también lo hace $z = Qy$ . Así, para cualquier $y$ lo siguiente es cierto $$y^TQ^T( A^T P + P A) Qy < 0$$ Desde $Q$ es simétrica (porque su inversa $P$ es simétrico) $$y^TQ( A^T P + P A) Qy < 0$$ o $$y^T( QA^T PQ + QP AQ) y < 0$$ Pero $PQ = QP = I$ así que $$y^T( QA^T + AQ) y < 0$$ lo cual es cierto para todos los $y$ Por lo tanto $$ QA^T + AQ < 0$$
