$p$ se divide completamente en $\mathbb{Q}(\zeta_l)$ implica que se divide en $\mathbb{Q}(\sqrt{-l})$

Question

Dejemos que $l>3$ sea un primo tal que $l\equiv 3 (\textrm{mod } 4)$ . Sea $p$ sea un primo impar tal que $p\equiv 1 (\textrm{mod } l)$ . Entonces podemos demostrar directamente que $p$ se divide en $\mathbb{Q}(\sqrt{-l})$ .

Mi pregunta es, ¿cómo deducir que $p$ se divide en $\mathbb{Q}(\sqrt{-l})$ del hecho de que $p$ se divide completamente en $\mathbb{Q}(\zeta_l)$ ?

Answer 1

Es un hecho general que si $K \subset L$ es una inclusión de campos numéricos algebraicos y $p$ se divide completamente en $L$ y luego se divide completamente en $K$ .

Para ver esto, considere la factorización primaria de $(p)$ en $\mathcal O_K$ es un producto de un grupo de primos $\mathfrak p$ Cada uno de ellos con un $e$ y $f$ . Decir que $(p)$ se divide por completo es decir que cada $e$ y $f$ es igual a $1$ .
Ahora considera la factorización de cada uno de los primos $\mathfrak p$ en $\mathcal O_L$ . Cada uno de ellos es un factor en el producto de un grupo de $\mathfrak q$ 's, de nuevo cada $\mathfrak q$ tiene un $e$ y $f$ .

Ahora combina estas diversas factorizaciones para obtener la factorización de $(p)$ en $\mathcal O_L$ . Si $\mathfrak q$ es un factor en $\mathcal O_L$ de uno de los factores $\mathfrak p$ de $(p)$ en $\mathcal O_K$ entonces el $e$ y $f$ para $\mathfrak q$ pensada como un factor de $(p)$ en $\mathcal O_L$ son el producto de los $e$ y $f$ para $\mathfrak q$ pensada como un factor de $\mathfrak p$ y el $e$ y $f$ para $\mathfrak p$ pensada como un factor de $(p)$ .

Usted es suponiendo que que $(p)$ se divide completamente en $L$ por lo que estos productos deben ser iguales a $1$ . Así, cada una de las $e$ y $f$ (para $\mathfrak q$ en $\mathfrak p$ y para $\mathfrak p$ en $(p)$ ) debe ser igual a $1$ . En particular, $(p)$ se divide completamente en $K$ .