¿Son las fibras de una inmersión holomórfica sobreyectiva $\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$ ¿Todos son homeomórficos?
Para $n=1$ esto significa que una función entera suryente $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ sin puntos críticos asume cada valor con una frecuencia infinita. ¿Es esto obvio?
La respuesta es no para $n=1$ .
Lema : Supongamos que $f$ es una función entera con $f^{-1}(z_0)$ finito no vacío para algunos $z_0 \in \mathbb{C}$ . Entonces $f$ es suryente.
Prueba: Por Picard, $f$ pierde como máximo un valor. Hasta traducir $f$ por un escalar (que obviamente preserva la hipótesis), podemos suponer $f$ echa de menos $0$ . Entonces $f = e^g$ para algunos enteros $g$ . Por supuesto, $z_0 \neq 0$ Así que $\exp^{-1}(z_0)$ es infinito, así que por Picard, $g^{-1}(\exp^{-1}(z_0)) = f^{-1}(z_0)$ es infinito, lo cual es una contradicción.
Ahora toma $q(z) := \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n\cdot n!}$ y $f(z) := ze^{q(z)}$ . Yo reclamo esto $f$ produce una contradicción.
Observe que $f(z) = 0$ si y sólo si $z = 0$ . Por lo tanto, el lema se aplica, y vemos $f$ es suryente. Además, vemos que no todas las fibras de $f$ están en biyección: $f^{-1}(0)$ es un singleton, pero por (gran) Picard (aplicado a $f(\frac{1}{z})$ ), $f^{-1}(z)$ es infinito para cualquier otro valor de $z$ .
Por último, vamos a comprobar que $f$ es una inmersión. Lo tenemos: $$df = (1+zq')e^q dz.$$ Tenemos $1+zq' = e^z$ por la elección de $q$ , así que esto es $e^{z+q}dz$ que es claramente un diferencial que no desaparece en ningún sitio.
Creo que es correcto tal y como está escrito: $q' = \sum_{n \geq 1} \frac{z^{n-1}}{n!}$ , $zq' = \sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n!}$ Así que $1+zq' = e^z$ .
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Cuando $n=1$ obtenemos un mapa de cobertura de $\mathbb{C}$ por $\mathbb{C}$ . Desde $\mathbb{C}$ está simplemente conectado, $f$ debe ser un isomorfismo. No estoy seguro de los casos de mayor dimensión.
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$f(z)=\int_0^z e^{w^2}dw$ no es una cobertura
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Sin embargo, ¿es ese mapa una inmersión? Es decir, creo que tiene puntos críticos. Por lo tanto, no satisface las hipótesis que has planteado. Creo que si $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es una inmersión suryectiva, entonces es un mapa de cobertura.
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@freeRmodule: el ejemplo de pocryf no tiene puntos críticos por el teorema fundamental del álgebra, y es onto, por lo que de hecho es un ejemplo de inmersión holomorfa sobreyectiva que no es un mapa de cobertura.
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Sí, los dos tenéis razón, me confundí, pensaba que el homeomorfismo sobreyectivo+local implicaba un mapa de cobertura, pero ahora estoy aprendiendo que no es así.