Calculando el área de un polígono irregular

Question

Dado la longitud de los lados de un polígono irregular (sin coordenadas proporcionadas) ¿cómo se calcula el área de máximo área del polígono?

Gracias de antemano

Answer 1

El polígono debe ser cíclico. Para más detalles, revisa este enlace.

Answer 2

Dado que los tratamientos muy interesantes a los que aelguindy vinculó parecen indicar que no se conocen fórmulas más allá de los hexágonos, parece que necesitarás determinar el área numéricamente. Un enfoque eficiente para hacer esto podría ser resolver la condición para que los ángulos sumen un círculo completo,

$$\sum_k\arcsin\frac{L_k}{2R}=\pi\;,$

para $R$ numéricamente (por ejemplo, usando el método de Newton). Entonces el área es

$$ \begin{eqnarray} A &=& \frac{R^2}2\sum_k\sin\left(2\arcsin\frac{L_k}{2R}\right) \\ &=& \frac{R}2\sum_kL_k\sqrt{1-\left(\frac{L_k}{2R}\right)^2}\;. \end{eqnarray} $$

[Editar según lo solicitado:]

Así es como podrías resolver para $R$ usando el método de Newton. La prescripción general para usar el método de Newton para resolver la ecuación $f(x)=0$ es

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\;.$$

Este es el punto donde la tangente a la gráfica en $x_n$ interseca el eje $x$. En el caso presente, queremos resolver

$$f(R)=\sum_k\arcsin\frac{L_k}{2R}-\pi=0\;,$

así que formamos

$$f'(R)=-\sum_k\frac{L_k}{2R\sqrt{(2R)^2-L_k^2}}$$

y iteramos usando

$$R_{n+1}=R_n+\frac{\sum_k\arcsin\frac{L_k}{2R_n}-\pi}{\sum_k\frac{L_k}{2R_n\sqrt{(2R_n)^2-L_k^2}}}\;.$$

Ahora solo necesitamos un valor inicial adecuado $R_0$. Este debe encontrarse en algún lugar entre el radio mínimo $L_{máx}/2$ (donde $L_{máx}$ es la longitud máxima del lado) y el infinito; una elección razonable podría ser $L_{máx}$.

Nota que el método de Newton no está garantizado que converja en general; creo que debería funcionar en este caso, pero no lo he probado. Si no funciona, es posible que tengas que usar un algoritmo más robusto de búsqueda de raíces.

Answer 3

El polígono debe ser cíclico, lo que significa que sus vértices estarán en la circunferencia de un círculo (asumiendo que el polígono es convexo). Si las longitudes de los lados se dan como $x_1, x_2, x_3, x_4,\ldots$ y $s=\frac{p}{2}$ donde $p$ es el perímetro entonces el área se da por algo similar a la fórmula de Brahmgupta para $4$ lados o la fórmula de Herón para un triángulo. No estoy seguro de cuál es el área cuando el número de lados excede los $4$.

Generalmente puedes encontrar las áreas de polígonos convexos irregulares dividiéndolos sabiamente en triángulos.

Answer 4

Siguiendo el comentario de @aelguindy, esta fue un área de investigación del Prof. David Robbins (quien falleció prematuramente). Aquí hay un artículo típico de ese esfuerzo de investigación: logró encontrar expresiones explícitas para las áreas de heptágonos y octágonos cíclicos. Cualquiera que hojeé ese artículo entenderá que este problema es extraordinariamente difícil en general.

Por diversión, comparé resultados relativamente simples que obtuve de un problema del examen Putnam con su resultado y coincidí, felizmente. Aquí está el problema:

Encuentra el área de un octágono convexo inscrito en un círculo que tiene 4 lados consecutivos de longitud 3 unidades y 4 lados consecutivos de longitud 2 unidades. Da tu respuesta en la forma $r+s \sqrt{t}$, donde $r$, $s$ y $t$ son enteros positivos.

Lo dejo como ejercicio para el lector.

Answer 5

Porque conocemos los lados, entonces los ángulos formados por estos lados en el centro del círculo estarán en la misma proporción que los lados. Por ejemplo, si los lados del polígono son a, b, c, d y e, entonces la suma de todos los ángulos en el centro será = a*x+b*x+c*x+d*x+e*x y esta suma será igual a 360. Entonces ahora conocemos todos los ángulos hechos por los lados en el centro. Ahora podemos encontrar el área de cada triángulo y la suma de estas áreas es el área del polígono.