Intuición detrás del determinante de una matriz con $2$ filas iguales

Question

En mi curso de álgebra lineal, acabamos de demostrar que si una matriz $A$ contiene $2$ filas iguales, entonces $\det(A)=0$ .

Entiendo cómo funciona la prueba, pero ¿podría alguien ofrecer una explicación más intuitiva de por qué es así?

Answer 1

Depende de qué propiedades del determinante consideres "intuitivas".

Una posibilidad: como un mapeo de $\mathbb R^n$ a sí mismo, $A$ multiplica $n$ -volúmenes dimensionales por $|\det(A)|$ . Si las filas $i$ y $j$ de $A$ son iguales, $A$ mapas $\mathbb R^n$ a los vectores cuyo $i$ 'th y $j$ son iguales. Este conjunto tiene $n$ -medida de la dimensión $0$ por lo que el determinante debe ser $0$ .

Answer 2

Si se intercambian las dos filas el determinante se multiplica por $-1$ ya que el determinante es una función lineal múltiple alternada de sus filas. Por lo tanto, $$ \det(A)=-\det(A) $$ de donde $$ \det(A)=0 $$

Answer 3

Mis disculpas porque este es mi primer post en StackExchange.

Como dice Robert Israel, pero en términos menos matemáticos.

El determinante 2D es el área del paralelogramo formado por los dos vectores de las filas (o columnas).

Ver:

¿Por qué el determinante de una matriz de 2 por 2 es el área de un paralelogramo?

El determinante 3D es el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores de las filas o columnas y así sucesivamente en dimensiones superiores.

Si alguno de los dos vectores apunta en la misma dirección, esta área/volumen/hipervolumen se convierte en cero.

Espero que esta sea una respuesta intuitiva.

Answer 4

Si 2 filas son iguales entonces son lineales dependiente por lo que tendrá un valor propio nulo y por tanto el determinante (que es el producto de los valores propios) será cero.

Answer 5

Si restas las dos filas la nueva matriz que obtienes tiene el mismo determinante y tiene una fila con sólo ceros. Si aplicas la expansión de Laplace con esa fila obtienes $0$