Historia de la función logarítmica

Question

La función exponencial es una función muy importante y surge de forma natural.

Por ejemplo, consideremos el límite $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (1+\dfrac{1}{n})^n$ .

El límite se evalúa como el número real $2.718281\dots$ que se denota por $e$ . Otro límite $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (1+\dfrac{x}{n})^n$ se evalúa para ser $e^x$ .

Bien, es fácil de comprobar por la expansión binomial de $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (1+\dfrac{x}{n})^n$ que $f(x)=e^x$ satisface la propiedad $f(x)f(y)=f(x+y)$ .

Pero, ¿cómo hemos llegado a saber que la función inversa de $e^x$ es $\log x$ ? Presentación de $\log x$ como $\displaystyle \int_1^x \dfrac{1}{t} \ dt$ es poco intuitivo y no indica ninguna propiedad de la función.

Por ejemplo, ¿cómo hemos llegado a saber $f(x)=\log x$ satisface la propiedad $f(xy)=f(x)+f(y)$ ?

¿Y cuál fue la motivación para introducir la función logarítmica? No facilita el cálculo.

Answer 1

En 1649, Alphonse Antonio de Sarasa, antiguo alumno de Grégoire de Saint-Vincent, relacionó los logaritmos con la cuadratura de la hipérbola, señalando que el área $A(t)$ bajo la hipérbola de $x = 1$ a $x = t$ satisface ${\displaystyle A(tu)=A(t)+A(u).}$

El historiador Tom Whiteside describió así la transición a la función analítica

A finales del siglo XVII podemos decir que mucho más que ser un dispositivo de cálculo convenientemente bien tabulado, la función logarítmica muy en el modelo de la hipérbola-área, había sido aceptada en las matemáticas. Cuando, en el siglo XVIII, esta base geométrica fue Cuando, en el siglo 18, esta base geométrica fue descartada en favor de una base totalmente analítica, no fue necesaria ninguna extensión o reformulación. no fue necesaria ninguna ampliación o reformulación: el concepto de "área de la hipérbola" se transformó sin problemas en "logaritmo natural". se transformó sin problemas en "logaritmo natural".

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_logarithms

Asociación Matemática de América: Artículos sobre la historia del logaritmo