¿Puede un automorfismo de entropía cero del toro tener un par Li-Yorke?

Question

Si un mapa continuo de un espacio métrico compacto tiene entropía topológica positiva, entonces tiene un par Li-Yorke. En general, lo contrario no es cierto, y un mapa continuo de entropía cero puede tener un par Li-Yorke.

¿Puede un automorfismo de entropía cero del toro tener un par Li-Yorke? Más generalmente, ¿puede un endomorfismo de entropía cero de un grupo de Lie compacto tener un par de Li-Yorke?

Answer 1

Supongo que un par Li-Yorke para $T$ es un par $x,y$ tal que $\limsup_{n\to \infty} d(T^n(x), T^n(y)) > 0 $ y $\liminf_{n\to \infty} d(T^n(x), T^n(y)) = 0$ .

Para los automorfismos torales, creo que la respuesta a tu pregunta es no. La idea es la siguiente: si $T$ es ergódico, entonces tiene entropía positiva (todo automorfismo toral lineal ergódico la tiene, véase por ejemplo aquí ). Si $T$ no es ergódico, se puede encontrar un factor de (alguna potencia de) $T$ en un toro de dimensión inferior que es ergódico, lo que significa de nuevo que $T$ tiene entropía positiva.

En efecto, el hecho de ser no ergódico implica que existe un valor propio que es una raíz de la unidad. Podemos sustituir $T$ por algún poder de $T$ y asumir que $1$ es un valor propio. Además se puede encontrar un vector propio entero $v$ con valor propio $1$ (porque los coeficientes de la matriz correspondiente a $T$ son enteros), por lo que pasar al cociente por $\mathbb{R}v$ deberías obtener un toroide de dimensión $n-1$ . Desde $T$ tenía un par Li-Yorke, también lo tiene el automorfismo inducido por $T$ en el cociente, por lo que se ha reducido la dimensión. Si el nuevo mapa sigue sin ser ergódico, podemos repetir esta reducción. Pero este proceso debe detenerse antes de alcanzar la dimensión $1$ ya que no se puede tener un par Li-Yorke en dimensión $1$ .

Nota: He editado esta respuesta ya que la anterior tenía un gran error (la afirmación era falsa)