Deje $(f_{n})_{n \in IN}$ ser una secuencia de holomorphic funciones en la unidad de disco $D$$\mathbb{C}$, y supongamos que esta secuencia converge pointwise a una función $f$. Por la enfermedad de Osgood del teorema se puede concluir entonces que hay un proceso abierto y denso subconjunto $V$ del disco, de modo que la función de $f$ es holomorphic allí y que la convergencia de la secuencia es localmente uniforme en $V$. Si además, suponga que la función de límite de $f$ es también holomorphic en el disco entero $D$, entonces es posible concluir que la secuencia de $(f_{n})_{n \in IN}$ converge localmente uniformemente a$f$$D$?
Respuesta
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Deje $K_n$ ser la unión de $\{ 0 \}$, el segmento de línea $[2/n, 1]$ y el conjunto compacto $\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1 \text{ and } \operatorname{dist}(z,\mathbb{R}_+) \ge 1/n \}$. Deje $L_n = K_n \cup \{ 1/n \}$. (Probablemente debe dibujar una imagen...) tenga en cuenta que el complemento de $L_n$ está conectado.
Deje $f_n$ ser un holomorphic función en un (no conectado) barrio de $L_n$ tal que $f_n = 0$$K_n$$f_n(1/n) = 1$. Por Runge del teorema, existe un polinomio $p_n$ tal que $|p_n - f_n| < 1/n$$L_n$. No es difícil ver que $p_n \to 0$ (pointwise) en la unidad de disco, pero la convergencia no es uniforme en cualquier barrio de $0$ desde $p_n(1/n) \approx 1$. (De hecho, la convergencia no es uniforme, cerca de cualquier punto sobre el eje real positivo.)
