Si los lados $a$ , $b$ , $c$ de $\triangle ABC$ están en progresión aritmética, entonces $3\tan\frac{A}{2}\tan\frac {C}{2}=1$

Question

Si los lados $a$ , $b$ , $c$ de $\triangle ABC$ (con $a$ frente a $A$ etc.) están en progresión aritmética, entonces demuestre que $$3\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}=1$$

Mi intento:

$a$ , $b$ , $c$ están en progresión aritmética, por lo que $$\begin{align} 2b&=a+c \\[4pt] 2\sin B &= \sin A+ \sin C \\[4pt] 2\sin(A+C) &=2\sin\frac {A+C}{2}\;\cos\frac{A-C}{2} \\[4pt] 2\sin\frac{A+C}{2}\;\cos\frac{A+C}{2}&=\sin\frac{A+C}{2}\;\cos\frac{A-C}{2} \\[4pt] 2\cos\frac{A+C}{2}&=\cos\frac{A-C}{2} \end{align}$$

Answer 1

Amplía tu última línea: $$2\left(\cos\frac A2\cos\frac C2 - \sin\frac A2\sin\frac C2\right)=\left(\cos\frac A2\cos\frac C2 +\sin\frac A2\sin\frac C2\right)$$ y su resultado es inmediato tras una cancelación.

Answer 2

Una pista:

$$\dfrac21=\dfrac{\cos\dfrac{A-C}2}{\cos\dfrac{A+C}2}$$

Aplique Componendo y Dividendo

$$\dfrac{2+1}{2-1}=?$$