Prueba $P(\bigcup_{i=1}^n E_i) \geq \max_i P(E_i)$ para $n≥1$

Question

Tengo problemas para iniciar este problema. Sé que trivialmente, todas las probabilidades están entre $0$ y $1$ . Si $n=1$ , $P(E_1)=\max(P(E_1))$ que satisface la desigualdad. Pero cuando $n=2$ No sé por qué $P(E_1 \cup E_2) \geq \max P(E_1, E_2)$ . Por definición, $P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ . E intuitivamente $P(E_1 \cup E_2)\geq P(E_1)$ y $P(E_1 \cup E_2) \geq P(E_2)$ pero no sé cómo mostrar esto.

Answer 1

Desde $E_k \subset \bigcup_{i=1}^n E_i$ tenemos $P(E_k) \le P(\bigcup_{i=1}^n E_i)$ para todos $k$ . Por lo tanto, $\max_k P(E_k) \le P(\bigcup_{i=1}^n E_i)$ .

Nota : Para ver por qué la primera afirmación es cierta, escribe $\bigcup_{i=1}^n E_i = E_k \cup ((\bigcup_{i=1}^n E_i) \setminus E_k)$ . Desde $E_k$ y $(\bigcup_{i=1}^n E_i) \setminus E_k$ son disjuntos, tenemos $P( \bigcup_{i=1}^n E_i)= P(E_k)+P((\bigcup_{i=1}^n E_i) \setminus E_k)$ y ya que $P((\bigcup_{i=1}^n E_i) \setminus E_k) \ge 0$ tenemos la desigualdad deseada.