Hamilton demuestra que esta es una representación correcta en el libro, pero el enfoque puede parecer un poco contraintuitivo. Por lo tanto, permítanme primero dar una respuesta de alto nivel que motiva su elección de modelado y luego elaborar un poco en su derivación.
Motivación :
Como debería quedar claro al leer el capítulo 13, hay muchas maneras de escribir un modelo dinámico en forma de espacio de estados. Por lo tanto, debemos preguntarnos por qué Hamilton eligió esta representación en particular. La razón es que esta representación mantiene baja la dimensionalidad del vector de estados. Intuitivamente, usted pensaría (o al menos yo lo haría) que el vector de estado para un ARMA( $p$ , $q$ ) tiene que ser al menos de dimensión $p+q$ . Después de todo, sólo por observar digamos $y_{t-1}$ no podemos inferir el valor de $\epsilon_{t-1}$ . Sin embargo, muestra que podemos definir la representación del espacio de estado de una manera inteligente que deja el vector de estado de dimensión de a lo sumo $r = \max\{p, q + 1 \}$ . Mantener la dimensionalidad del estado baja puede ser importante para la implementación computacional, supongo. Resulta que su representación del espacio de estados también ofrece una buena interpretación de un proceso ARMA: el estado no observado es un proceso AR( $p$ ), mientras que el MA( $q$ ) se debe a un error de medición.
Derivación :
Ahora, la derivación. En primer lugar, observe que, utilizando la notación del operador de retardo, el ARMA(p,q) se define como: $$ (1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) =(1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_t $$ donde dejamos que $\phi_j = 0$ para $j>p$ y $\theta_j = 0$ para $j>q$ y omitimos $\theta_r$ desde $r$ es al menos $q+1$ . Así que todo lo que necesitamos mostrar es que sus ecuaciones de estado y observación implican la ecuación anterior. Sea el vector de estado $$ \mathbf{\xi}_t = \{\xi_{1,t}, \xi_{2,t},\ldots,\xi_{r,t}\}^\top $$ Ahora mira la ecuación de estado. Puedes comprobar que las ecuaciones $2$ a $r$ simplemente mover las entradas $\xi_{i,t}$ a $\xi_{i-1,t+1}$ un periodo por delante y descartar $\xi_{r,t}$ en el vector de estado en $t+1$ . La primera ecuación, que define $\xi_{i,t+1}$ es, por tanto, la pertinente. Escribirlo: $$ \xi_{1,t+1} = \phi_1 \xi_{1,t} + \phi_2 \xi_{2,t} + \ldots + \phi_r \xi_{r,t} + \epsilon_{t+1} $$ Dado que el segundo elemento de $\mathbf{\xi_{t}}$ es el primer elemento de $\mathbf{\xi_{t-1}}$ y el tercer elemento del $\mathbf{\xi_{t}}$ es el primer elemento de $\mathbf{\xi_{t-2}}$ y así sucesivamente, podemos reescribir esto, utilizando la notación del operador de retardo y moviendo el polinomio de retardo al lado izquierdo (ecuación 13.1.24 en H.): $$ (1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t+1} = \epsilon_{t+1} $$ Así que el estado oculto sigue un proceso autorregresivo. Del mismo modo, la ecuación de observación es $$ y_t = \mu + \xi_{1,t} + \theta_1\xi_{2,t} + \ldots + \theta_{r-1}\xi_{r-1,t} $$ o $$ y_t - \mu = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\xi_{1,t} $$ Esto no se parece mucho a un ARMA hasta ahora, pero ahora viene la parte buena: multiplicar la última ecuación por $(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)$ : $$ (1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)y_t $$ Pero a partir de la ecuación de estado (retrasada un periodo), tenemos $(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t} = \epsilon_{t}$ ¡! Por lo tanto, lo anterior equivale a $$ (1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_{t} $$ ¡que es exactamente lo que necesitábamos mostrar! Así que el sistema de observación del estado representa correctamente el ARMA(p,q). En realidad sólo estaba parafraseando a Hamilton, pero espero que esto sea útil de todos modos.
