Dejemos que $*$ sea una operación binaria conmutativa y asociativa sobre un conjunto $S$ . Supongamos que para cada $x$ y $y$ en $S$ existe existe $z$ en $S$ tal que $x*z = y$ . (Este $z$ puede depender en $x$ y $y$ .) Demuestre que si $a, b, c$ están en $S$ y $a*c = b*c$ , entonces $a = b$ .
Entre $c$ y sí mismo, hay un elemento $e_c$ , de tal manera que $c*e_c=c$ . entre $c$ y $e_c$ hay un elemento $c^{-1}$ tal que $c*c^{-1}=e_c$ . Multiplicando ambos lados de la ecuación $a*c = b*c$ por $c^{-1}$ tenemos $a*e_c=b*e_c$ . Por lo tanto, basta con demostrar que para cualquier $a$ en $S$ , $a*e_c=a$ . Desgraciadamente, no sé cómo demostrarlo $e_c$ es un elemento de identidad. Obsérvese también que si podemos demostrar $S$ es un grupo, entonces lo que queremos demostrar se deduce trivialmente.
