algunas propiedades de $\nu$ medir

Question

Para cualquier función dada $F$ que satisface las siguientes propiedades

1. $0\le F(x)\le1,\forall x\in\mathbb R$

2. $F(x)\le F(y),x\le y$

3. $\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\lim_{x\to\infty}F(x)=1$

4. $F$ es continua desde la derecha.

existe una medida de probabilidad $\nu$ en $(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))$ Satisfaciendo a $F(x)=\nu(−\infty, x]$ para todos $x\in\mathbb R$ . Además, tales $\nu$ es único.

Me gustaría demostrar como consecuencia que $\nu(-\infty,a)=F(a-)$ y $\nu(a,b]=F(b)-F(a+)$

$$F(a-)=\lim_{x\to a-}\nu(-\infty,x]=\nu(-\infty,a)-\lim_{x\to a-}\nu(x,a)=\nu(-\infty,a)-\lim_{n\to\infty}\nu(a-\frac1 n,a)=\nu(-\infty,a)-\nu(\emptyset)=\nu(-\infty,a)$$ He definido $A_n=(a-\frac1 n,a)$ por lo que se concluye que $$\lim_{n\to\infty}\nu(a-\frac1 n,a)=\lim_{n\to\infty}\nu(\cap_n(a-\frac1 n,a))=\nu(\emptyset)=0$$ $$F(b)-F(a+)=\nu(-\infty,b] -\lim_{x\to a+}\nu(-\infty,x]=\nu(-\infty,a]+\nu(a,b]-\nu(-\infty,a]-\lim_{x\to a+}\nu(a,x]=\nu(a,b]-\nu(a,a]=\nu(a,b]$$ ¿Son correctas mis pruebas?

Answer 1

Lo básico es que $\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}vA_{n}$ si el $A_{n}$ son medibles y disjuntos.

Sobre esto se puede demostrar que $A_{n}\uparrow A$ implica $\nu A_{n}\uparrow vA$ .

Esto mediante el establecimiento de $B_{1}:=A_{1}$ y $B_{n}:=A_{n}-A_{n-1}$ si $n>1$ . Entonces: $$\lim_{k\rightarrow\infty}vA_{k}=\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{k}vB_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}vB_{n}=\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\right)=\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\nu A$$

Aplicación de esto: $$F\left(a-\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}F\left(a-\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\nu\left(-\infty,a-\frac{1}{n}\right]=\nu\left(-\infty,a\right)$$

Para $a<b$ tenemos $\left(-\infty,a\right]\cup\left(a,b\right]=\left(-\infty,b\right]$ .

Esta unión es disjunta por lo que $$F\left(a\right)+\nu\left(a,b\right]=\nu\left(-\infty,a\right]+\nu\left(a,b\right]=\nu\left(-\infty,b\right]=F\left(b\right)$$ Eso nos lleva a: $$\nu\left(a,b\right]=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

No hay necesidad de escribir $F\left(a+\right)$ .

Obsérvese que la condición 4) establece en realidad que $F\left(a+\right)=F\left(a\right)$ .