¿Qué son las normas en la isometría de Ito?

Question

Ito isometría de Wikipedia :

Dejemos que $W : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}$ denota el proceso canónico proceso Wiener de valor real definido hasta el tiempo $T > 0$ y que $X : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}$ sea un proceso estocástico que se adaptado a la filtración natural $\mathcal{F}_{*}^{W}$ del proceso Wiener de Wiener. Entonces $$ \mathbb{E} \left[ \left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right)^{2} \right] = \mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} X_{t}^{2} \, \mathrm{d} t \right], $$ donde $\mathbb{E}$ denota la expectativa con respecto a medida clásica de Wiener $\gamma$ . En otras palabras, la integral estocástica de Ito integral estocástica, como función, es una isometría de espacios vectoriales normados con respecto a las normas inducidas por los productos internos $$ ( X, Y )_{L^{2} (W)} := \mathbb{E} \left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \int_{0}^{T} Y_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right) = \int_{\Omega} \left( \int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \int_{0}^{T} Y_{t} \, \mathrm{d} W_{t} \right) \, \mathrm{d} \gamma (\omega) $$ y $$ ( A, B )_{L^{2} (\Omega)} := \mathbb{E} ( A B ) = \int_{\Omega} A(\omega) B(\omega) \, \mathrm{d} \gamma (\omega). $$

Me preguntaba cuáles son los dos espacios normados y cuáles son sus normas, para que los dos espacios normados sean isométricos wrt sus normas?

Gracias y saludos.

Answer 1

Dejemos que $(W_t)_{t \geq 0}$ un proceso de Wiener en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ . Denote por $X \bullet W_T$ la integral estocástica $$X \bullet W_T := \int_0^T X_t \, dW_t$$ Entonces la Isometría de Itô establece $$\|X \bullet W_T\|_{L^2(\mathbb{P})}^2 = \|X\|_{L^2(\lambda|_{[0,T]} \times \mathbb{P})}^2$$ donde $\lambda|_{[0,T]}$ denota la medida de Lebesgue en $[0,T]$ .

Esto significa que el mapeo $L^2(\lambda|_{[0,T]} \times \mathbb{P}) \ni X \mapsto X \bullet W_T \in L^2(\mathbb{P})$ es una isometría entre el espacio normado

• $$L^2(\mathbb{P}) := \left\{f: \Omega \to \mathbb{R}; f \, \text{measurable}, \int_{\Omega} f(\omega)^2 \, d\mathbb{P}(\omega)< \infty\right\}$$ dotado de la norma $$\|f\|_{L^2(\mathbb{P})} := \left( \int_{\Omega} f(\omega)^2 \, d\mathbb{P}(\omega) \right)^{\frac{1}{2}} $$

y el espacio normado

• $$L^2(\lambda|_{[0,T]} \times \mathbb{P}):= \left\{ f:[0,T] \times \Omega \to \mathbb{R}; f \, \text{measurable}, \int_{\Omega} \int_0^T f(t,\omega)^2 \, dt \, d\mathbb{P}(\omega)< \infty\right\}$$ dotado de la norma $$\|f\|_{L^2(\lambda|_{[0,T]} \times \mathbb{P})} := \left(\int_{\Omega} \int_0^T f(t,\omega)^2 \, dt \, d\mathbb{P}(\omega) \right)^{\frac{1}{2}}$$

En el artículo de la Wikipedia, se considera $W$ como canónico Proceso de Wiener, es decir $$\Omega := C_{(0)} := \{w:[0,\infty) \to \mathbb{R}; w \, \text{continuous}, w(0)=0\}$$ y $\mathbb{P}=\gamma$ viene dada por la medida de Wiener.