Encontrar la función armónica s.t. $\int_{\mathbb R^d}|D^2 u|^2<\infty $

Question

Encontrar todas las funciones armónicas $u$ definido en $\mathbb R^d$ ( $d\geq 2$ ) s.t. $$\int_{\mathbb R^d}|D^2 u|^2<\infty .$$

Recuerdo que $$|D^2 u|^2=\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}\right)^2.$$

Mis intentos

Mi idea era establecer $h_i=\frac{\partial u}{\partial x_i}$ y comentan que $$|D^2 u|^2=\sum_{i=1}^d|\nabla h_i|^2=\sum_{i=1}^d\nabla h_i\cdot \nabla h_i=\sum_{i=1}^d \text{div}(h_i\nabla h_i)-\sum_{i=1}^n (h_i \Delta h_i).$$ Desde $u$ es armónico, entonces $u\in \mathcal C^\infty $ y por lo tanto $\Delta h_i$ está bien definido, pero no puedo concluir. Quería utilizar el teorema de la divergencia, pero como $\mathbb R^d$ no está acotado, no es posible.

Una segunda idea fue demandar el hecho de que $u$ es armónico, y por lo tanto $$|D^2u|^2=2\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=1}^{n-1}\left(\frac{\partial ^2 u}{\partial x_i\partial x_j}\right)^2,$$ y obtener $$\int_{\mathbb R^d}|D^2 u|^2<\infty \iff 2\sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=i+1}^{n-1}\int_{\mathbb R^d}\left(\frac{\partial ^2u}{\partial x_i\partial x_j}\right),$$ pero aún así, no puedo continuar.

Answer 1

Supongamos que $u$ es una función armónica en $\mathbb{R}^n$ . Entonces por la propiedad del valor medio sabemos que para cada $x \in \mathbb{R}^n$ y $r>0$ tenemos que $$ u(x) = \frac{1}{\omega_n r^{n}} \int_{ B(x,r)} u(y) dy $$ donde $\omega_n$ es el volumen de la bola unitaria en $\mathbb{R}^n$ . A partir de esto y de Cauchy-Schwarz obtenemos la estimación $$ |u(x)| \le \frac{1}{\omega_n r^n} \int_{B(x,r)} |u(y)| dy \le \frac{1}{\omega_n r^n} \left( \int_{B(x,r)} |u(y)|^2 dy \right)^{1/2} |B(x,r)|^{1/2} \\ =\frac{1}{\sqrt{\omega_n} r^{n/2}} \left( \int_{B(x,r)} |u(y)|^2 dy \right)^{1/2} $$ Ahora bien, si $u$ es tal que $$ \int_{\mathbb{R}^n} | u(y)|^2 dy = M^2 < \infty, $$ entonces encontramos a su vez que $$ |u(x)| \le \frac{1}{\sqrt{\omega_n} r^{n/2}} \left( \int_{B(x,r)} |u(y)|^2 dy \right)^{1/2} \le \frac{1}{\sqrt{\omega_n} r^{n/2}} \left( \int_{\mathbb{R}^n} |u(y)|^2 dy \right)^{1/2} = \frac{M}{\sqrt{\omega_n} r^{n/2}}. $$ Entonces, para cualquier $x \in \mathbb{R}^n$ podemos enviar $r \to \infty$ para conseguir que $$ |u(x)| \le \lim_{r \to \infty}\frac{M}{\sqrt{\omega_n} r^{n/2}} =0, $$ y por lo tanto encontramos que $u(x) =0$ para todos $x$ . Por lo tanto, la única función armónica que es integrable al cuadrado sobre todo el $\mathbb{R}^n$ es $0$ .

Una vez establecido esto, podemos responder a su pregunta. Supongamos ahora que $u$ es armónico en $\mathbb{R}^n$ y $D^2 u$ es cuadrado-integrable. Como $u$ es armónico, es suave, y por lo tanto podemos aplicar un número arbitrario de derivadas a la EDP $\Delta u =0$ . En particular, encontramos que si $|\alpha|=2$ entonces $$ 0 = \partial^\alpha \Delta u = \Delta \partial^\alpha u, $$ lo que significa que todas las derivadas parciales de segundo orden son también armónicas. Como $$ \int_{\mathbb{R}^n} |\partial^\alpha u |^2 \le \int_{\mathbb{R}^n} |D^2 u |^2 < \infty $$ encontramos que $\partial^\alpha u$ es una función armónica que es integrable al cuadrado. Por el análisis anterior sabemos entonces que $\partial^\alpha u =0$ para todos los multiíndices con $|\alpha |=2$ . En otras palabras, sabemos que $D^2 u =0$ y, por tanto, el cálculo básico nos dice que $u$ es lineal, es decir $u(x) = a + b \cdot x$ para algunos $a \in \mathbb{R}$ y $b\in \mathbb{R}^n$ . Resulta que todas esas funciones son trivialmente armónicas.

Así, una función armónica tiene $D^2 u$ integrable al cuadrado si y sólo si es lineal.