Dejemos que $S^{d-1}$ sea la esfera unitaria en $\mathbb{R}^d$ y $\operatorname{Pol}_{\leq n}(S^{d-1})$ sea el espacio de las funciones polinómicas de grado máximo $n$ . Estoy tratando de entender la descomposición irreducible de $\operatorname{Pol}_{\leq n}(S^{d-1})$ bajo la acción del grupo ortogonal $O(d)$ . Mi principal referencia es el libro "Approximation Theory and Harmonic Analysis on Spheres and Balls" de Dai y Xu.
Dejemos que $\mathcal{P}_n^d$ sea el espacio de los polinomios homogéneos de grado $n$ en $d$ variables. Sea $\operatorname{Harm}_n^d$ sea el subespacio de $\mathcal{P}_n^d$ que consiste en todos los polinomios armónicos homogéneos de grado $n$ es decir, $$ \operatorname{Harm}_n^d=\{f\in\mathbb{R}[x_1,\dots,x_d]\mid f\text{ homogeneous}, \operatorname{deg}(f)=n, \Delta f=0\}. $$
Entiendo que podemos demostrar por inducción que el espacio $\mathcal{P}_n^d$ se descompone como $$ \mathcal{P}_n^d=\bigoplus_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor} ||x||^2 \operatorname{Harm}_{n-2j}^d.\tag{1} $$ En Dai, Xu, se escribe que debido a esta descomposición, se obtienen las siguientes descomposiciones del espacio $\operatorname{Pol}_{\leq n}(S^{d-1})$ $$ \operatorname{Pol}_{\leq n}(S^{d-1})=\bigoplus_{k=0}^n \left.\operatorname{Harm}_k^d\right|_{S^{d-1}}\tag{2} $$ y $$ \operatorname{Pol}_{\leq n}(S^{d-1})=\left.\mathcal{P}_n^d\right|_{S^{d-1}}\oplus \left.\mathcal{P}_{n-1}^d\right|_{S^{d-1}}.\tag{3} $$ No veo cómo se obtienen las descomposiciones (2) y (3) utilizando (1).
