Si $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias independientes con distribución $N(0,1)$ , entonces prueba la suma de $X_{1}^2 + X_{2}^2$ tiene una distribución gamma.

Question

Lo sé. $Y=X^2$ tiene una función de densidad $\frac{1}{\sqrt{2y\pi}}e^{\frac{-y}{2}} $ y esta es la distribución gamma $ G(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ . Mi pregunta es cómo puedo hacer la suma de $X_{1}^2 + X_{2}^2$ y que es igual a $G(1, \frac{1}{2})$ .

Answer 1

Una forma es la de las coordenadas polares: \begin{align} & F_Y(y) = \Pr(Y\le y) \\[8pt] = {} & \iint\limits_{x_1,x_2\,:\,x_1^2\,+\,x_2^2\,\le\,y} \frac 1 {2\pi} e^{-x_1^2/2} e^{-x_2^2/2} \, d(x_1,x_2) \\[8pt] = {} & \iint\limits_{x_1,x_2\,:\,x_1^2\,+\,x_2^2\,\le\,y} \frac 1 {2\pi} e^{-(x_1^2+x_2^2)/2} \, d(x_1,x_2) \\[8pt] = {} & \int_0^{2\pi} \left( \int_0^{\sqrt y} \frac 1 {2\pi} e^{-r^2/2} (r\,dr) \right) \, d\theta \end{align} El interior integral no depende de $\theta,$ es decir, es constante como $\theta$ va de $0$ a $2\pi,$ por lo que esta expresión es la longitud, $2\pi-0$ del intervalo por esa constante. Por lo tanto, es $$ \int_0^{\sqrt y} e^{-r^2/2} (r\,dr) = \int_0^{y/2} e^{-u} \, du $$ (Cuando $r = \sqrt y$ entonces $u = r^2/2 = y/2.$ )

También es útil a veces saber que si las variables aleatorias independientes tienen distribuciones $$ \frac 1 {\Gamma(\alpha_i)} (\lambda y)^{\alpha_i-1} e^{-\lambda y} (\lambda\,dy) \text{ for } y>0\quad \text{for } i=1,2, $$ entonces la suma de esas dos variables aleatorias tiene la distribución $$ \frac 1 {\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)} (\lambda y)^{\alpha_1+\alpha_2-1} e^{-\lambda y} (\lambda\,dy) \text{ for } y>0. $$ En su ejemplo, tiene $\alpha_1=\alpha_2 = \frac 1 2,$ así que $\alpha_1+\alpha_2-1=0.$ Y $\lambda=1/2.$