Suma de forma cerrada del exponencial

Question

Tengo la siguiente fórmula:

$f(k) =\sum_{i=0}^{k}3^{i}$

Por lo tanto,

$f(0) = 1$

$f(1) = 4$

$f(2) = 13$

$f(3) = 40$

¿Es posible reescribir esto para evitar tener que hacer la suma?

Answer 1

Como lulu La pregunta del Sr. G. de la Cruz es la siguiente comentario estados, se tiene la suma de un Series geométricas . La fórmula general para una suma finita es, para $r \neq 1$ ,

$$\sum_{i=0}^n ar^i = a\left(\frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}\right) \tag{1}\label{eq1A}$$

Por lo tanto, utilizando que su primer término es $a = 1$ y la relación común es $r = 3$ , que se obtiene en su caso

$$f(k) =\sum_{i=0}^{k}3^{i} = \frac{3^{k+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{k+1} - 1}{2} \tag{2}\label{eq2A}$$