minimizar la distancia

Question

Consideremos un sistema bidimensional. Se dan dos puntos cuyas coordenadas son $(h1,h2)$ y $(k1,k2)$ . Quiero minimizar la distancia entre estos dos puntos con la condición de que la persona tiene que ir a cada eje de coordenadas mientras va de $(h1,h2)$ a $(k1,k2)$ . Así que las posibles condiciones son

1. $(h1,h2)$ a $(0,0)$ a $(k1,k2)$

2. $(h1,h2)$ a $(0,y)$ a $(x,0)$ a $(k1,k2)$

3. $(h1,h2)$ a $(x,0)$ a $(0,y)$ a $(k1,k2)$

por lo que quiero minimizar esta distancia.

así que dejemos $(x,0)$ y $(0,y)$ sean los dos puntos generales sobre ejes de coordenadas la distancia s viene dada por

$s$ = $s1$ + $s2$ + $s3$

donde $s1$ = $sqrt((h1)^2+(h2-y)^2)$

$s2$ = $sqrt(x^2+y^2)$

$s3$ = $sqrt((k1-x)^2+(k2^2))$

Podría haber tomado $x$ con $h1$ y $y$ con $k2$ pero eso depende del $(h1,h2)$ $(k1,k2)$ En cualquier caso, el resultado final no cambiará.

Sé que para minimizar $s$ tenemos que diferenciar $s$ y ponerlo igual a 0. Pero como hay dos variables x e y, no soy capaz de resolver . Puede alguien ayudarme con esto.

gracias

algunos casos de prueba

$h1$ ---- $h$ 2----- $k1$ ------ $k2$ -------- $ans$ --------------- $path$

1-------1---------2---------2----------- 4.242641-------(1,1)->(0,0)->(2,2)

2-------1---------1---------2------------4.242641-------(2,1)->(1,0)->(0,1)->(1,2)

1-------1---------1---------3------------4.472136-------(1,1)->(0.5,0)->(0,1)->(1,3)

Answer 1

Una pista:

Tenga en cuenta que también podría haber reflejado $H$ a través de $x$ -y el eje $K$ a través de la $y$ -eje. Pero entonces puede obtener interceptos negativos para $X, Y$ . ¿Puedes pensar por qué esto daría el camino más corto y qué sucede en otros casos (por ejemplo $H'K'$ que pasa por el origen)?

El enfoque alternativo es el del cálculo, o el uso de la desigualdad del triángulo (el mismo gráfico te da la pista para eso también).