¿Cómo obtener los mismos vectores propios de un valor propio degenerado cuando la matriz evoluciona ligeramente?

Question

Tengo un $n\times n$ matriz compleja normal simétrica que siempre tiene $\frac 23 n$ valores propios degenerados. ( $n$ es siempre en forma de $3k \quad k=1,2,...)$

Por ejemplo, en $6\times 6$ tiene valores propios $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_4$ .

Sé que un valor propio degenerado creará un $2D$ espacio de vectores propios que se le pueden asociar. Necesito medir la evolución de estos vectores propios ya que la matriz cambia muy ligeramente en cada paso (con una variable de bucle llamada $\omega$ ), para lo cual tengo un código informático escrito. Calcula la siguiente fórmula para los vectores propios y traza $\tau-\omega$ .

$$f_{ij}(\alpha,\beta)=\sum_{l=1}^nF(\omega,\lambda_l)\frac {\langle i\alpha\lvert l\rangle \langle\bar l\lvert j\beta\rangle}{\langle l\lvert \bar l \rangle}$$

$$\tau_{ij}(\omega)=C(\omega)\sum_{\alpha \beta}\lvert f_{ij}(\alpha,\beta)\lvert^2$$

Dónde $\langle i\alpha\lvert$ y $\lvert j\beta\rangle$ son la base de un $nD$ espacio, $\langle \bar l\lvert$ es la notación del vector propio $\lvert l\rangle$ transpuesto (no conjugado), $(i,j)$ son índices de $1$ a $n$ , por lo que tendríamos $n^2$ valores de $\tau$ cambiando como $\omega$ cambios. (y $\tau_{ij}=\tau_{ji}$ )

Problema es el código informático que elige uno de los infinitos vectores propios posibles para los valores propios degenerados en cada iteración como $\omega$ cambios para que el $\tau-\omega$ La trama tiene ruidos.

La primera imagen es como se supone que debe ser el resultado y la segunda indica el problema. No son resultados de alta resolución, pero creo que sirven.

Estos ruidos desaparecen cuando uso sólo los valores propios y vectores no degenerados o cuando uso una aproximación muy mala para hacer la matriz hermitiana. Así que el problema de degeneración es el caso aquí.

Pregunta: ¿Hay alguna forma de evitar este problema para controlar el comportamiento de los vectores propios degenerados cuando la matriz cambia ligeramente?

(Utilizo LAPACK para calcular los vectores propios si es que importa)

Answer 1

Suponiendo la multiplicidad $k$ de un valor propio $\lambda_i$ es fijo y conocido, se puede representar el $k$ -espacio eigénerico como un único Sin embargo, la línea $0$ en el poder exterior $\wedge^k(V)$ de ti $n$ -(cuya potencia tiene dimensión $\binom nk$ ). Entonces puedes representar la línea por uno de los dos vectores unitarios que contiene; es de esperar que puedas controlar cuál se elige de forma razonable. De este modo se suprime la arbitrariedad de la elección de una base para el eigespacio.

Para más detalles sobre cómo hacerlo, consulte Incrustación de Plücker y coordenadas de Grassmann.

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario.)

Supongamos que se pueden trazar los valores propios y que la multiplicidad de cada valor propio permanece inalterada. Es decir, supongamos que $A(t)$ es una matriz normal que varía continuamente en el tiempo $t$ y $\lambda(t)$ es uno de sus valores propios que varía continuamente en $t$ y cuya multiplicidad permanezca inalterada a lo largo de cierta ventana temporal. Sea $B$ y $C$ sean dos matrices, cada una con columnas ortonormales, tales que las columnas de $B$ son los vectores propios unitarios de $\lambda(t_1)$ y las columnas de $C$ es un conjunto que abarca el eigespacio para $\lambda(t_2)$ en algún momento $t_2$ cerca de $t_1$ . Entonces lo que se pregunta es cómo encontrar un conjunto de vectores unitarios que abarquen el espacio de columnas $C$ y también está cerca de las columnas de $B$ . En otras palabras, necesitas encontrar una matriz unitaria $Q$ que minimiza la norma de Frobenius de $B-CQ$ .

Si este es el caso, la solución al problema clásico de mínimos cuadrados anterior es $Q=VU^\ast$ , donde $USV^\ast$ es una descomposición del valor singular del producto de la matriz $B^\ast C$ . Por lo tanto, puede elegir las columnas de $B$ como los vectores propios de $\lambda(t_1)$ y las columnas de $CQ$ como los vectores propios de $\lambda(t_2)$ .

Sin embargo, las cosas se ponen más feas si las trayectorias de los valores propios se cruzan.