Resolución de la relación recurrente

Question

$a_{1}=\dfrac{3}{5}$ , $~$ $a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{2a_{n}}{1+a_{n}}}$ $~$ $(n\geq 1)$

Encuentra la forma cerrada de $a_{n}$

Answer 1

Dejemos que $b_n = 1/a_n$ . Entonces

$$b_{n+1}^2 = \frac{1+b_n}{2}$$

Lo siento si esto es una especie de deux ex machina pero puede reconocer que la recurrencia anterior se ajusta al patrón de la fórmula del medio ángulo del coseno. Dicho esto, la condición inicial no permitirá una solución de coseno... pero sí una solución de coseno hiperbólico, que satisface la misma identidad de medio ángulo. Entonces se puede escribir que

$$b_n = \cosh{\left ( \frac{\theta}{2^n}\right)}$$

y

$$a_n = \text{sech}{\left ( \frac{\theta}{2^n}\right)}$$

$$a_1 = \frac{3}{5} \implies \theta = 2 \,\text{arcsech}{\left ( \frac{3}{5}\right)} = 2 \log{3}$$

Por lo tanto,

$$a_n = \text{sech}{\left ( \frac{\log{3}}{2^{n-1}}\right)} = \frac{2}{\displaystyle 3^{1/2^{n-1}} + 3^{-1/2^{n-1}}}$$