Podemos definir todas las señales como una suma de sinusoides tomando la transformada de Fourier de la señal. Eso está bien. Mi pregunta es, ¿por qué sinusoides? ¿Puede haber otra transformada como Fourier en algún lugar del universo que pueda explicar todas las señales como una suma de rectángulos o triángulos (o cualquier forma periódica)?
Respuestas
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Esta pregunta tiene una respuesta muy general dada por el teorema de Stone–Weierstrass. Esto dice, en la situación a la que se aplican las series de Fourier,
Sea $C[a,b]$ el espacio de funciones continuas en el intervalo $[a,b]$ y sea $A \subset C[a,b]$ un conjunto, cerrado bajo adición, multiplicación y escalado, que tiene las dos propiedades:
- Para cada $x \in [a,b]$, existe algún $f \in A$ tal que $f(x) \neq 0$, y
- Para cada $x, y \in [a,b]$, existe algún $f \in A$ tal que $f(x) \neq f(y).
Entonces cada función en $C[a,b]$ es el límite uniforme de elementos de $A$.
La conexión con las series de Fourier es que podemos tomar $A$ como el conjunto de funciones generadas por $\sin(x)$ y $\cos(x)$ en (en este caso) $[-\pi, \pi]$ mediante adición, multiplicación (incluyendo la potencia $0$) y escalado. Como se puede comprobar que $\sin(x)$, $\cos(x)$ y la función constante $1$ nunca pueden desaparecer simultáneamente o ser iguales, $A$ cumple las condiciones del teorema, mostrando que cada función continua en $[-\pi, \pi]$ es el límite uniforme de "polinomios trigonométricos": literalmente, polinomios en $\sin(x)$ y $\cos(x)$, que usando identidades trigonométricas (o exponentiales complejas, que es lo mismo pero más fácil) se puede demostrar que son iguales a las expresiones de la forma $$\sum_{n=0}^N (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)).$$
Usando otras funciones básicas, el teorema proporciona un criterio simple para comprobar si sus "polinomios" pueden usarse para aproximar otras funciones. La ventaja de las series de Fourier aquí es que los polinomios de aproximación son sumas parciales de una única serie infinita cuyos coeficientes se pueden calcular mediante un producto interno (una integral). Es decir, por ejemplo, se pueden utilizar polinomios como los polinomios de Bernstein para aproximar funciones continuas también, pero a medida que aumenta el grado de los polinomios que aproximan cualquier función única, los coeficientes todos cambian, no solo los más altos. Simplemente porque estos polinomios no forman un conjunto ortonormal con respecto a un producto interno. Otros "polinomios ortogonales" existen en abundancia, como los polinomios de Legendre, y no tienen este problema.
En resumen, el esquema que permite que las series de Fourier funcionen se puede generalizar parcialmente reemplazando las funciones trigonométricas por una base ortonormal arbitraria para algún producto interno en $C[a,b]$, y generalizar aún más simplemente utilizando alguna subálgebra de $C[a,b]$ que "separa puntos y nunca desaparece", pero entonces los aproximantes no son tan comportados individualmente.
littleO
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Esta es una buena pregunta, y la respuesta puede ser profunda y abrir grandes áreas de las matemáticas. La transformada de Fourier (en sus varias encarnaciones) toma una función y la escribe como una combinación lineal de vectores base, y la base que utiliza es una base especial, la base de Fourier, que es una base de autovectores para el operador de desplazamiento. Es posible utilizar diferentes bases (quizás una base de autovectores para un operador diferente) y esto te dará transformadas diferentes. Esto está relacionado con el teorema espectral en álgebra lineal y en análisis funcional.
En matemáticas aplicadas, la transformada de Fourier discreta no siempre es la que queremos. Por ejemplo, para comprimir una señal puede que prefiramos utilizar una transformada de ondícula u alguna otra transformada.
James Woolfenden
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¿Puede haber otra transformación como la de Fourier en alguna parte del universo que pueda explicar todas las señales como la suma de rectángulos o triángulos (u cualquier forma periódica)?
Sí, hay varias transformaciones populares similares a las transformadas de Fourier, excepto que utilizan algo distinto a senos y cosenos.
Cada día, las personas ven videos digitalizados o escuchan audio digitalizado que utiliza varias de esas transformadas, por lo general, sin siquiera darse cuenta.
Por ejemplo,
- La transformada de Fourier descompone una señal en la suma de ondas seno y ondas coseno de longitud infinita.
- La transformada de coseno discreta (DCT) se utiliza en muchos sistemas de compresión de imágenes y videos, como JPEG, MPEG y Theora. La DCT descompone una señal en la suma de ondas coseno.
- La transformada de coseno modificada discreta (MDCT) se utiliza en algunos sistemas más modernos de compresión de imágenes y videos, y en muchos sistemas de compresión de audio, como MP3, AAC y Vorbis, ya que reduce los artefactos en los límites de bloques típicos de los sistemas basados en DCT. La MDCT también descompone una señal en la suma de ondas coseno.
- La transformada de seno discreta descompone una señal en la suma de ondas seno. Desconozco cualquier uso práctico.
- La transformada de Hartley y transformada discreta de Hartley (DHT) descompone una señal en la suma de ondas cas, donde cas(t) = cos(t) + sin(t). Parece tener varias ventajas sobre la transformada de Fourier, pero desconozco cualquier uso práctico.
- La transformada Walsh -- también conocida como transformada Hadamard -- descompone una señal en la suma de ondas cuadradas pares e impares de longitud infinita. Se utiliza en JPEG XR y H.264 y parece ser útil también para la computación cuántica.
Las transformadas tiempo-frecuencia son útiles para crear gráficos de cascada y espectrogramas que se utilizan en una variedad de campos -- entrenamiento de voz; estudios de sonidos de animales; radar; sismología; los operadores de radio aficionados las utilizan para descubrir qué frecuencias y protocolos están utilizando las personas y para decodificar código Morse muy lento "a simple vista"; etc.
- La transformada de Fourier de tiempo corto es una transformación tiempo-frecuencia que descompone una señal en la suma de pequeños fragmentos de ondas seno y coseno, cada fragmento localizado en el tiempo.
- Varias transformadas de ondícula son una transformación tiempo-frecuencia aún más popular. La más simple es la transformada Haar, que utiliza una ondícula madre compuesta por 2 pulsos cuadrados.
- La transformada chirplet es otra transformación tiempo-frecuencia.
- la transformada de Fourier fraccional (FRFT), que me parece bastante inesperada y sorprendente que tal cosa sea posible, pero desconozco cualquier uso práctico.
Shabaz
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Puedes usar diferentes funciones, siempre y cuando formen un conjunto completo, lo que significa que pueden expandir cualquier función. Es bueno si son independientes, para que la expansión sea única. También es bueno si son ortogonales, para que puedas calcular un coeficiente de expansión sin preocuparte por los demás. Las ondas seno son todas estas cosas. Al igual que las funciones de Walsh, que son básicamente ondas cuadradas. Hay muchas otras.
En mucho trabajo físico, la ventaja de las ondas seno es que las propiedades de un medio o circuito eléctrico dependen de la frecuencia. Puedes expandir tu entrada en ondas seno, calcular cómo se altera cada componente (retraso, amplificación, atenuación) y sumarlos para obtener la salida. Si tu entorno es diferente, eso es una fuerte motivación para otro conjunto de funciones: te gustaría que tus funciones base interactúen bien con el entorno.
Ya Basha
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En casi todos los campos de la física que tratan la oscilación (mecánica cuántica, electricidad de corriente alterna y mecánica de resorte, por mencionar algunos), la oscilación sinusoidal es la más básica. Se describe mediante una de las ecuaciones diferenciales de segundo grado más simples (y aparece en soluciones a muchas más complicadas) y dado que muchos modelos físicos se basan en ecuaciones diferenciales de segundo grado, las sinusoidales son de gran importancia.
En muchos casos, el movimiento sinusoidal se puede considerar como la proyección de un movimiento rotacional hipotético de velocidad constante en el plano complejo, que probablemente es la oscilación más simple (no trivial) que existe. Por lo tanto, de todas las descomposiciones oscilatorias, la sinusoidal es generalmente la de mayor interés.
Las funciones sinusoidales también son bastante simples de trabajar matemáticamente. Son analíticas y están bien estudiadas. En contraste, las funciones triangulares no son diferenciables y las funciones rectangulares ni siquiera son continuas.
