Estaba leyendo Physics from Symmetry de Jakop Schwichtenberg y me confundí con las definiciones de los grupos $U(1)$ y $SU(2)$ .
Por lo que he entendido, los números complejos unitarios con la multiplicación ordinaria forman un grupo y se llama $U(1)$ . $U$ por ser unitario ( $U^*U =1$ ) y $1$ por su representación mediante números complejos simples.
Además, en el libro define \begin{align} 1 =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align} y muestra que terminamos con los mismos resultados que $SO(2)$ .
Por otra parte, al igual que los números complejos unitarios, los cuaterniones unitarios también forman un grupo con multiplicación ordinaria. En este punto define
\begin{align}\label{asd} &1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} &i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &j = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} &k = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \end{align} y llamó a esto $SU(2)$ S denota $det(U)=1$ y $U$ denota $U^\dagger U=1$ y 2 denota $2\times 2$ matrices.
Entonces, la pregunta es: Por la misma lógica que llamamos a los números complejos unitarios $U(1)$ ¿no deberíamos decir también cuaterniones unitarios $U(1)$ ya que ambos son unitarios y están representados por un solo número.
Además, por la misma lógica que llamamos $SU(2)$ a la representación matricial de los cuaterniones unitarios, ¿no deberíamos decir también que la representación matricial de los números complejos unitarios son $SU(2)$
