Si $F_X(z)>F_Y(z)$ para todos $z$ entonces $P[X<Y]>0$ .

Question

Si $F_X(z)>F_Y(z)$ para todos $z$ entonces $P[X<Y]>0$ .

$$P[X\leq{}z] > P[Y\leq{}z]\Rightarrow{} P[X<z] > P[Y<z] \rightarrow{} (1)$$

Por (1)

$$P[X<z] > P[Y<z]$$

$$P[X-Y<z] > P[Y-Y<z]$$

$$P[X-Y<{}0] > P[0<0]$$

$$P[X-Y<0] > 0$$

$$P[X<Y] > 0$$

Tengo dos preguntas

Es correcto decir que $P[0<0]=0$ y es correcto (1)?

Gracias por su ayuda :D

Answer 1

Creo que puede ser útil que busques el concepto de dominancia estocástica. http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_dominance

Intenta imaginar las dos Funciones de Distribución Acumulativa simultáneamente. Decir que una FCD domina estocásticamente a otra es decir que

En términos de las funciones de distribución acumulativa de los VR, que Y domine a X significa que $F_Y(z) \le F_X(z) \forall z,$ con una desigualdad estricta en algunos $z$ . Esto puede parecer retrógrado al principio, pero piense en lo que la CDF evaluó en algún $z$ está diciendo. Específicamente:

$F_Y(z)=P(Y<z)$

Si esa probabilidad es menor que

$F_X(z)=P(X<z)$

entonces en algún momento debemos tener $P(X<Y)>0$

Intenta dibujar dos FCD en un papel con una de ellas "siempre tan alta" como la otra. El $z$ aquí representa el lugar donde se puede trazar una línea vertical a través de ambos CDFs simultáneamente. Una de esas curvas acumulativas tendrá más área a la izquierda de su línea en $z$ que el otro.

Piensa en lo que eso significa para las distribuciones subyacentes de $X$ y $Y$ .

Espero que eso ayude.