Dada una secuencia $(a_n)$ tal que $0 \leq a_i <\frac{1}{2}$ para todos $i$ es cierto que:
$$ \sum_i \log(1-a_i) > -\infty \iff \sum_i \log(1-2a_i) > -\infty$$
Sin embargo, mi prueba de esto me pareció un poco burda y larga. ¿Alguien tiene un enfoque más agradable?
Como referencia, aquí está cómo lo hice:
Refiriéndonos a la ecuación de arriba, dejamos que $s_1$ sea la suma en el lado izquierdo y $s_2$ sea la suma en el lado derecho. (o más rigurosamente, podríamos decir que es el límite de las sumas parciales)
Basta con demostrar que $s_1 >-\infty \implies s_2 > -\infty$ , como $s_1 \geq s_2$ . Por lo tanto, suponemos que $s_1$ converge a un valor finito.
Consideramos la diferencia de las dos sumas,
$$ s_1 - s_2 = \sum_i \log(1-a_i)-\log(1-2a_i) = \sum_i \log\left(\frac{1-a_i}{1-2a_i}\right) = \sum_i \log\left(1+\frac{a_i}{1-2a_i}\right) $$
Ya que estamos asumiendo $s_1$ converge, debemos tener que $a_i \to 0$ por lo que para cualquier $\epsilon > 0$ Tenemos eso:
$$ s_1-s_2 =\sum_i \log\left(1+\frac{a_i}{1-2a_i}\right) \leq C(\epsilon) + \sum_{i >N(\epsilon)} \log(1+(1+\epsilon)a_i) $$
$$\leq C(\epsilon) + \sum_i \log(1+(1+\epsilon) a_i)$$
Si la suma inferior es finita, $s_1-s_2$ y por lo tanto $s_2$ también debe ser finito. Denotamos esa suma inferior como $s_3$ .
$$ s_1+s_3 = \sum_i \log((1-a_i)(1+(1+\epsilon) a_i)) \leq \sum_i \log(1+\epsilon a_i) $$
$$ \leq \sum_i \log(1+a_i)$$
Añadir $s_1$ obtenemos:
$$s_1 + \sum_i \log(1+a_i) = \sum_i \log(1-a_i^2) $$
Entonces tenemos eso:
$$ s_1 < \sum_i \log(1-a_i^2) \leq 0$$
Así, $s_3$ es finito, lo que significa que $s_2$ es finito, y hemos terminado.
