$A$ se dice que es similar a $B$ cuando existe una matriz invertible $P$ tal que $B = P^{-1}AP$ .
Mi pregunta es, ¿es $P$ ¿único?
¿Sólo habrá un posible $P$ que hace que esta afirmación sea cierta?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
M. Winter
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Si encuentras una matriz invertible $C$ que conmuta con $A$ es decir $AC=CA$ Entonces, en lugar de $P$ también puede tomar $P'=CP$ :
\begin{align} P'^{-1}AP' &= (CP)^{-1}A(CP) \\&=P^{-1}C^{-1}ACP\\ &=P^{-1}C^{-1}CAP\\ &=P^{-1}AP=B. \end{align}
Como múltiplos $\lambda I$ de la matriz de identidad $I$ siempre se desplazan con $A$ , todos $\lambda IP=\lambda P$ para cualquier valor real $\lambda\not=0$ también lo hará.
egreg
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No. Dejemos que $A = B$ . Entonces cada matriz $P = \text{diag}(\lambda,\dots,\lambda)$ con un resultado positivo $\lambda$ se adapta a su definición.
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Otro tipo de ejemplo: $A$ es similar a sí mismo. $A = P^{-1} A P $ simplemente significa $A$ se desplaza con $P$ .
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¿Qué tal si $A=B=0$ , entonces todo invertible $P$ funciona.