Puede que la versión de groupoid Seifert-van Kampen necesidad de ruta de acceso de la conectividad como una hipótesis?

Question

De mayo, Un breve Curso de Topología Algebraica da la siguiente instrucción de la Seifert-van Kampen teorema fundamental groupoids $\Pi(X)$ (sección 2.7):

Teorema (van Kampen). Deje $\mathcal{O} = \{ U \}$ ser una portada de un espacio de $X$ por la ruta que conecta abrir subconjuntos tales que la intersección de un número finito de subconjuntos en $\mathcal{O}$ está de nuevo en $\mathcal{O}$. Respecto a $\mathcal{O}$ como una categoría cuyos morfismos son las inclusiones de subconjuntos y observar que el functor $\Pi$, restringido a los espacios y los mapas en la $\mathcal{O}$, da un diagrama de $\Pi | \mathcal{O} : \mathcal{O} \to \text{Gpd}$ de groupoids. El groupoid $\Pi(X)$ es el colimit de este diagrama.

Como lo que yo puedo decir, sin embargo, su prueba no hace uso de la hipótesis de que la $\mathcal{O}$ se compone de ruta de acceso conectado subconjuntos. Estoy en lo cierto en pensar esto? La motivación aquí es ser capaz de calcular por ejemplo, el grupo fundamental del círculo $S^1$ escritura como la unión de dos intervalos con desconectada de la intersección.

Answer 1

Higgins libro descargable Categorías y groupoids tiene mucho de computación colimits de groupoids. El punto es que la groupoid teorema de van Kampen tiene la que probablemente sea la óptima teorema de este tipo en

R. Brown y A. Razak, `Un teorema de van Kampen de los sindicatos de no-espacios conectados", Archiv. De matemáticas. 42 (1984) 85-88.

Esto implica la fundamental groupoid $\pi_1(X,A)$ sobre un conjunto de puntos de base, y para ello y, en general, apertura de la tapa, uno tiene que $A$ se reúne cada ruta-componente de cada $1$-, $2$-, $3$-pliegue de la intersección de los conjuntos de la cubierta. Esto responde a un punto en particular de la pregunta. El caso de $A=X$ es el teorema como se indica en la pregunta, y el caso especial cuando $A$ es un singleton es en Hatcher del libro. La reducción de a $3$veces intersecciones esencialmente se basa en la idea de Lebesgue cubriendo dimensión.

Este resultado se traduce en el problema de topología en el álgebra; un particular grupo fundamental, si se quiere, está escondido en el medio de este colimit de groupoids. Entonces uno tiene que hacer varias combinatoria cosas tales como la elección de los árboles en los componentes de los gráficos, para encontrar el grupo fundamental. Estos métodos están directamente relacionadas con los métodos de uso en combinatoria, teoría de grupos, así que uno debe pensar en ellos, incluyendo la noción de que cubre morfismos de groupoids utilizado en Higgins libro, como una forma de combinatoria groupoid teoría. HNN extensiones de grupos también puede ser visto como pushouts de groupoids.

Una de las herramientas útiles en Higgins libro es la siguiente: dado un groupoid $G$ con objeto de establecer $X$ y una función de $f:X \to Y$ construir un groupoid $U_f(G)$ con objeto de establecer $Y$. Esta construcción proporciona libre de grupos, y libre de productos de los grupos, como casos especiales. En el Capítulo 9 de la Topología y de la Groupoids esta construcción está relacionada con la toma de las identificaciones en un discreto subconjunto de un espacio topológico.

Estas ideas de manera útil generalizar a dimensiones superiores, a través de una Mayor Homotopy Seifert-van Kampen Teoremas: véase, por ejemplo, en la Parte I de Nonabelian Topología Algebraica de los resultados en la segunda relativa homotopy grupos. No hay más que decir ..........

Más tarde: me doy cuenta de que yo no respondieron a la pregunta en cuanto a la finalidad de la generalización. Como se ha sugerido, el propósito inmediato era tener un teorema que arrojó el grupo fundamental del círculo, que es, después de todo, EL ejemplo básico de topología algebraica. Asimismo, se entregó fácilmente ejemplos adicionales: por ejemplo, supongamos $X$ ser el espacio formado por la identificación de todos los puntos correspondientes de las dos copias del intervalo de $[-1,1]$, excepto para el punto de $0$. Por lo tanto $X$ es un no espacio de Hausdorff. Desde el groupoid versión con $A$ que consta de los dos puntos de $\pm 1/2$, obtenemos que el grupo fundamental de la $X$ es de los enteros.

Como otro ejemplo, considere el siguiente de la unión de dos conjuntos:

Aquí se elige un punto de base en cada uno de los componentes de la intersección, en este caso $4$ basepoints. Este tipo de ejemplo fue el de van Kampen del original en papel, sin indicación de la prueba. Uno también puede tener conectada la unión, de 24 de abrir conjuntos, cada uno con $5$ componentes de la ruta, y las intersecciones con cientos de componentes de la ruta. Este tipo de situaciones surgen en la combinatoria del grupo de teoría. En general, se elige el conjunto de los puntos de base de acuerdo a la geometría de la situación dada.

La prueba dada en el papel que se refiere es la verificación de la universal de los bienes, y no requieren el conocimiento de que la categoría de groupoids admite colimits, ni ningún método específico de la construcción de ellos.

Para mí, este trabajo llevó a la impresión de que TODOS los de $1$-dimensiones homotopy teoría se expresa mejor en términos de groupoids en lugar de los grupos.

La prueba también tiene la ventaja de la generalización a dimensiones superiores, una vez que se ha apropiado de dimensiones superiores homotopical gadgets. (Lo hizo me lleve 9 años para encontrar, en conversación con Felipe Higgins, el derecho a la $2$-dimensiones aparato.)

28 de julio de 2015: Para más discusión sobre este área, consulte este mathoverflow discusión.