El número entero más pequeño que es divisible por 90 y tiene exactamente 90 divisores positivos distintos

Question

Encuentre el menor número entero positivo que sea a la vez múltiplo de 90 y que tenga exactamente 90 divisores positivos distintos (incluidos él mismo y el 1).
Empecé a hacerlo utilizando la función divisor y sustituyendo en el $i = 90n$ ecuación (para la divisibilidad por 90). ¿Es éste el camino correcto? ¿O es que me falta algo fundamental?

Answer 1

Tenemos $90=2\cdot 3^2\cdot 5$ por lo que una forma de tener $90$ divisores es $p^4q^2r^2s$ con $p,q,r,s$ primos. Un candidato natural es entonces $2^43^25^27=25200$ Como puedes ver, es divisible por $90$ . No creo que encuentres uno más pequeño, pero deberías comprobar las otras formas de asignar los exponentes.

Answer 2

Si $N = \prod p_i^{k_i}$ es la factorización primaria de $N$ entonces $N$ tendrá $\prod (k_i + 1)$ divisores.

Si $\prod (k_i + 2) = 90 = 2*3^2*5$

Ser divisible por $90$ entonces $2,3$ y $5$ deben ser divisores primos y debe haber al menos $3$ divisores primos.

Podemos factorizar $90$ como $2,3,3,5$ en cuyo caso $\{k_i\} = 1,2,2,4$ y la forma más pequeña de hacerlo es $N_1 = 2^4*3^2*5^2*7$ . (El valor más pequeño de $m^4n^2p^2q;m,n,p,q$ primo, es poner $m = 2;n=3;p=5;q=7$ )

o como $2,3,15$ así que $\{k_i\} = 1,2,14$ y la forma más pequeña de hacerlo es $N_2=2^{14}*3^2*5$

o como $2,9,5$ así que $k_i = 1,4,8$ y $N_3=2^8*3^4*5$

o como $6, 3,5$ así que $k_i = 2,4,5$ y $N_4=2^5*3^4*5^2$

o como $10, 3,3$ así que $k_i = 2,2,9$ y $N_5=2^9*3^2*5^2$

Y esos serían los $5$ posibilidades más pequeñas.

Ahora $\frac {N_1}{N_2} = \frac {2^4*3^2*5^2*7}{2^{14}*3^2*5}=\frac {5*7}{2^{10}}=\frac {35}{1024} < 1$ . Así que $N_1 < N_2$ .

$\frac {N_1}{N_3} = \frac {2^4*3^2*5^2*7}{2^8*3^4*5}=\frac {5*7}{2^4*3^2}=\frac {35}{9*16} < 1$ así que $N_1 < N_3$ .

$\frac {N_1}{N_4} = \frac {2^4*3^2*5^2*7}{2^5*3^4*5^2}=\frac {7}{2*9}=\frac {7}{18} < 1$ así que $N_1< N_4$ .

$\frac {N_1}{N_5} = \frac {2^4*3^2*5^2*7}{2^9*3^2*5^2}=\frac {7}{2^5}=\frac {7}{32} < 1$ así que $N_1< N_5$

Así que $N_1 = 2^4*3^2*5^2*7 = 16*9*25*7=400*63 = 25200$ es el número más pequeño.