Tengo un problema interesante de mi investigación que he estado luchando por resolver. No soy un matemático, así que por favor, tened paciencia conmigo. La pregunta es la siguiente:
La forma en que pienso en un entramado es como una matriz de puntos. Así que tengo una celosía tridimensional de enteros, es decir, los vectores base están a lo largo de la $x$ , $y$ y $z$ ejes y son de longitud 1. Quiero calcular el único sub-redes que tienen un volumen que es $N$ veces el volumen de la celda unitaria.
Si la pregunta no está del todo clara, tengo un ejemplo para una red bidimensional para la que pude encontrar soluciones cuando $N$ es razonablemente pequeño. Entonces, supongamos que empiezo con una red 2D, es decir, los vectores base son $(1,0)$ y $(0,1)$ , que se muestra en la figura siguiente. Quiero encontrar todas las combinaciones únicas de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , tal que el área del paralelogramo subtendido por estos dos vectores es $N=2$ . Habrá infinitas soluciones pero habrá un único conjunto de vectores-base que describan todas las soluciones. El conjunto único de soluciones es tal que cualquiera de los conjuntos de vectores (de las soluciones) no puede ser expresado como una combinación lineal entera de cualquier otro conjunto. El siguiente ejemplo debería ayudar a aclarar esto. Adjunto una figura que muestra el conjunto único de estos vectores para ambos $N=2$ y $N=3$ en un entramado 2D.
En la figura, se muestra el conjunto único de vectores base y los paralelogramos correspondientes están sombreados para mostrar el hecho de que el área es (i) dos veces y (ii) tres veces el área de la celda más pequeña.
Los vectores para $N=2$ son los siguientes:
1) $\vec{a} = [1, 1]$ ; $\vec{b}= [1,-1]$
2) $\vec{a} = [2, 0]$ ; $\vec{b}= [0,1]$
3) $\vec{a} = [1, 0]$ ; $\vec{b}= [0,2]$
Cualquier otra solución en la red podría expresarse como combinación lineal de enteros de uno de los conjuntos de los vectores base. Busco el conjunto único de soluciones, ¡que es finito! Hay tres soluciones para A=2 y cuatro soluciones únicas para A=3.
Obtuve esta solución utilizando un código de MATLAB que resuelve iterativamente todos los vectores posibles, por lo que es muy lento y el código se queda sin memoria para valores mayores de $N$ . Dado que existen soluciones tan sencillas para este problema, no pude dejar de preguntarme si existe alguna propiedad de los entramados que pueda utilizar para llegar de forma eficiente a estas soluciones.
Edición1 : Alternativamente, sería estupendo si alguien pudiera indicarme un código eficiente que pueda generar todas las combinaciones posibles de tres vectores, con volumen $V$ en un entramado tridimensional de supuestas $n\times n \times n$ puntos de la red. Tengo un código que es $O(n^4)$ y, por tanto, es muy lento.
Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.
