Entender una prueba sobre integrales

Question

Dejemos que $f,g$ $[a,b]$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ dos funciones continuas ang $g$ positivo. Demuestre que existe $\xi$ $\in$ $[a,b]$ tal que $\int_a^b f(x)g(x)dx$ = $f(\xi) \int_a^b g(x)dx$

prueba :

Tenga en cuenta que como $g(x)>0,$ y luego:

$\inf_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\,g(x)\le f(x)\,g(x)\le \sup_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\,g(x) \tag 1$

Dejemos que $m=\min_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$ y $M=\max_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$ . Utilizando (1) tenemos: $m \le \frac{\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\le M\tag 2$

A partir del teorema del valor intermedio, para cualquier número $I$ tal que $mIM$ existe un número (a,b) tal que $f()=I$ . Aplicando esto a (2) encontramos que existe un (a,b) tal que:

$f(\xi)=\frac{\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx} \tag 3$

mi problema:

¿Cómo pasamos de $(1)$ a $(2)$ ?

Answer 1

Si $g \equiv 0$ entonces es obvio, si $g(x)>0$ en $I \subset [a,b]$ entonces tenemos :

$$mg(x) \le f(x)\,g(x) \le M g(x) $$ Estas desigualdades se conservan mediante la integración, por lo que :

$$\int_a^bm g(x)dx\le \int_a^b f(x)\,g(x)dx\le\int_a^b Mg(x)dx$$ Podemos sacar las constantes de las integrales y dividir por $\int^a_b g(x)dx$ desde $g(x)>0$ en $I \subset [a,b]$ por lo que esta integral no es igual a $0$ . Encontramos $(2)$