Ecuación de Laplace, expansión de Taylor

Question

No he podido encontrarlo en ningún sitio, así que he decidido escribir mi pregunta aquí:

Tengo problemas para resolver esta ecuación:

$$u_{xx} + u_{yy} = 4,$$

sometido a las condiciones

$$u(x,x)=2x^2, \quad u_x(x,x)=2x$$

He resuelto un problema similar, sólo que allí las condiciones iniciales estaban en $u(0,y)$ y $u_x(0,y)$ y utilicé la expansión de Taylor allí:

$$u(x,y)= u(x_0,y) + u_x(x_0, y)(x-x_0)+ \frac{1}{2} u_{xx}(x_0, y)(x-x_0)^2 + ...$$

y allí pude enchufar $x_0 = 0$ .

¿Podría decirme cómo utilizarlo aquí?

Answer 1

Dado que la condición inicial es un polinomio cuadrático, y el laplaciano es constante, deberíamos esperar encontrar $u$ como un polinomio cuadrático. Es decir, busca $u$ en la forma $$u(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2$$ La PDE da $A+C=2$ El valor de $u(x,x)$ da $A+B+C=2$ y el valor de $u_x(x,x)$ da $2A+B=2$ . Resolver para $A,B,C$ y ya está.