$ x\in \left[0,{1\over n-1} \right] \to 1+nx \le (1+x)^n \le {1+x\over 1-(n-1)x}$ (Asignación de tareas)

Question

Se trata de una tarea que tengo que hacer. No quiero la respuesta directa, sólo la pista que pueda ayudarme a empezar con esto. Para darte el contexto, ahora estamos estudiando las integrales.

Esta es la cuestión:

Prueba : $ x\in \left[0,{1\over n-1} \right] \to 1+nx \le (1+x)^n \le {1+x\over 1-(n-1)x}$

El ejercicio sugiere el uso de lo que sólo puedo traducir pobremente como "Desigualdad de incremento finito" y que dice :

Dejemos que $f$ sea una función continua en $[a,b], a<b$ y diferenciable en $[a,b]$ .

$\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in [a,b], f'(x)\le M \to f(b)-f(a) \le M(b-a)$

Intenté aplicar esto a $f(x)=(1+x)^n$ pero en vano.

Cualquier aportación será muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Para la desigualdad $1+nx\leq (1+x)^n $ , sólo hay que expandir utilizando el teorema del binomio y observar que todos los términos son positivos.

La otra desigualdad, después de algunas manipulaciones (nótese que todos los términos son positivos) queda como $$1-(n-1)x\leq (1+x)^{-(n-1)}. $$ Considere la función $$f (x)=(1+x)^{-(n-1)}+(n-1)x-1.$$ Tenemos $f(0)=0$ y $$f'(x)=-(n-1)(1+x)^{-n}+n-1=(n-1)(1-(1+x)^{-n})>0,$$ desde $(1+x)^{-n}<1$ . Tenemos, pues, que $f (0)=0$ y $f $ está aumentando.

Answer 2

(Pista parcial)

Pista: Para la primera desigualdad, basta con expandir el paréntesis utilizando el teorema del binomio.

Answer 3

Para demostrar $x\in \left]0,{1\over n-1} \right[ \implies 1+nx \le (1+x)^n \le {1+x\over 1-(n-1)x} $ .

La primera desigualdad es simplemente la desigualdad de Bernoulli, es verdadera para todo $x \ge 0$ , y se demuestra fácilmente por inducción:

Es cierto para $n=1$ . Si es cierto para $n$ , entonces $(1+x)^{n+1} =(1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx) =1+(n+1)x+nx^2 \ge 1+(n+1)x $ .

La segunda desigualdad es la misma que $(1-(n-1)x)(1+x)^{n-1} \le 1 $ .

Si $n = 1$ , esto es $1 \le 1$ , lo cual es cierto.

Supongamos que es cierto para $n$ . Entonces, si $0 < x < \frac1{n}$ ,

$\begin{array}\\ (1-nx)(1+x)^{n} &=(1-(n-1+1)x)(1+x)(1+x)^{n-1}\\ &=(1+x)(1-(n-1+1)x)(1+x)^{n-1}\\ &=(1+x)((1-(n-1)x)(1+x)^{n-1}-x(1+x)^{n-1})\\ &=(1+x)((1-(n-1)x)(1+x)^{n-1}-x(1+x)^{n-1})\\ &\le(1+x)(1-x(1+x)^{n-1}) \qquad\text{by the induction hypothesis}\\ &\le(1+x)(1-x) \qquad\text{since }(1-x)^{n-1} \ge 1\\ &=1-x^2\\ &\le1\\ \end{array} $