Para 1/A = 1/B + 1/C, ¿por qué A es <min(B, C)?

Question

$\frac{1}{a}$ = $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$

He leído que $a$ es siempre < el menor de $b$ y $c$

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En el caso de $0$ < $B$ $<1$ y $0$ < $C$ $<1$ ,

Puedo entender la regla como:

En primer lugar,

$$\frac{1}{A}=\frac{1}{B} +\frac{1}{C}=\frac{C+B}{B*C}$$

Ahora se están viendo 3 casos:

Caso 1

$$\frac{1}{A}=\frac{1}{0.5} +\frac{1}{0.5}=\frac{0.5+0.5}{0.5*0.5}=\frac{1}{0.25}$$

Caso 2

$$\frac{1}{A}=\frac{1}{0.2} +\frac{1}{0.9}=\frac{0.2+0.8}{0.2*0.8}=\frac{1}{0.04}$$

Caso 3

$$\frac{1}{A}=\frac{1}{0.001} +\frac{1}{0.999}=\frac{0.001+0.999}{0.001*0.999}=\frac{1}{0.0009}$$

Así que si miramos el $B*C$ plazo, $$D=B*C$$

Cuando $0$ < $B$ $<1$ y $0$ < $C$ $<1$

El valor más pequeño (de $B$ o $C$ ) aporta el producto $B*C$ hasta su nivel.

Pero, ¿cómo es que lo mismo ocurre cuando $B >1$ y $C>1$

Caso 4

$$\frac{1}{A}=\frac{1}{1} +\frac{1}{1}=\frac{1+1}{1*1}=\frac{2}{1}$$
Por lo tanto, $$A=1/2$$

Caso 5 $$\frac{1}{A}=\frac{1}{5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{5*5}=\frac{10}{25}$$
Por lo tanto, $$A=25/10=2.5$$

Puedo ver en ambos casos $A$ sigue siendo $<B$ y $A<C$ . Sé que hay algo que sucede aquí en relación con el valor A y el resultado en el lado derecho de la ecuación, pero no puedo poner mi dedo en la causa $A$ para ser menos que $B$ y menos de $C$ donde $B$ y $C$ $>1$

Answer 1

Como todo es estrictamente positivo, es simplemente el hecho de que $$\frac1A=\frac1B+\frac1C>\frac1B$$ Y $$\frac1A>\frac1B\implies B>A$$ Lo mismo para $C$ . Desde $A$ es menor que boh, es menor que el mínimo.

No entiendo realmente por qué en usted decidió considerar sólo tres números.

Answer 2

Como has dicho, $\frac{1}{A}=\frac{C+B}{C*B}$
lo que significa $A=\frac{B*C}{B+C}$
Ahora claramente $B > \frac{B*C}{B+C}$ porque $\frac{B*C}{B+C} = B*\frac{C}{B+C}$ y $\frac{C}{B+C} < 1$ .
De la misma manera, $C > \frac{B*C}{B+C}$ porque $\frac{B*C}{B+C} = C*\frac{B}{B+C}$ y $\frac{B}{B+C} < 1$ .
Así, $B > \frac{B*C}{B+C} = A$ y $C > \frac{B*C}{B+C} = A$