Si tenemos una serie (habitual) de la forma $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ entonces definimos $S$ para ser el límite como $N$ va al infinito de las sumas parciales $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n,$ siempre que el límite exista. Si en cambio tenemos una serie bi-infinita de la forma $$ S = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n $$ entonces, ¿cómo definimos esta suma? ¿Se trata de $$ \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N a_n $$ o $$ \lim_{N \to \infty} \lim_{M \to \infty} \sum_{n = -M}^N a_n $$ ¿o algo más? ¿Puede referirme también a algún libro de texto estándar que trate sobre series bi-infinitas? Gracias.
Respuesta
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La suma bi-infinita es la suma sobre $\Bbb Z$ . En general (creo que lo leí en el libro de análisis del profesor Tao), se define una suma sobre un conjunto arbitrario $X$ de la siguiente manera.
Dejemos que $X$ sea un conjunto cualquiera y $F(X)$ sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $X$ . Dejemos que $f: X \to \Bbb R$ ser no negativo.
$$\sum_{x \in X} f(x) := \sup\{\sum_{x \in A} f(x): A \in F(X)\}$$
Ahora bien, si $f$ no es necesariamente no negativo, entonces en caso de que $\sum_{x \in X} |f(x)|$ es finito,
$$\sum_{x \in X} f(x) := \sum_{x \in X} f^+(x) - \sum_{x \in X} f^-(x)$$
Dónde $f^+(x)= \max\{f(x), 0\}$ y $f^-(x) = \max\{-f(x), 0\}$ .
De lo contrario, $\sum_{x \in X} f(x)$ es indefinido.
En el caso $X = \Bbb Z$ es fácil comprobar que cuando $\sum_{x \in \Bbb Z} f(x)$ se define, tenemos que el límite:
$$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N f(n)$$
existe y es igual a esa cosa.
