Gradiente de una función

Question

El gradiente de una función es $\langle f_x(x,y),f_y(x,y) \rangle$ . Pero no entiendo este vector gradiente muestra lo que. Cuando encuentro el gradiente de alguna función, ¿ese vector representa qué? Gracias.

Answer 1

El gradiente es una palabra elegante para la derivada, o la tasa de cambio de una función. Es un vector (una dirección de movimiento) que

1. Señala la dirección de mayor incremento de una función.
2. Es cero en un máximo local o en un mínimo local (porque no hay una única dirección de aumento).

El término "gradiente" se utiliza normalmente para funciones con varias entradas y una única salida (un campo escalar).

Conocemos la definición de gradiente: una derivada para cada variable de una función.

Supongamos,

Si queremos encontrar la dirección en la que debemos movernos para aumentar nuestra función lo más rápido posible, introducimos nuestras coordenadas actuales (como 3,4,5) en la ecuación y obtenemos

Así, este nuevo vector (1, 8, 75) sería la dirección en la que nos moveríamos para aumentar el valor de nuestra función.

El otro uso del gradiente es encontrar el máximo/mínimo de funciones multivariables.

Answer 2

Para una función multivariable $f(x,y)$ ese vector se llama $\textbf{grad}f$ el gradiente de $f$ , a veces denotado como $\nabla f$ .

Es un vector que apunta en la dirección de mayor incremento de la función.