Respecto a los vectores base de un álgebra de Lie.

Question

Del libro "Introduction to Lie Algebras" de Erdmann & Wildon:

Si $L$ es una álgebra de Lie sobre un campo $F$ con base $(x_1,\cdots, x_n)$ entonces $[-,-]$ está completamente determinado por los productos $[x_i,x_j]$ . Definimos los escalares $a_{ij}^k\in F$ tal que $$[x_i,x_j]=\sum_{k=1}^{n}a_{ij}^{k}x_k$$ El $a_{ij}^{k}$ son las constantes de estructura de $L$ con respecto a esta base.

¿Qué significa "completamente determinado por los productos $[x_i,x_j]$ "¿Significa? ¿Significa que $\forall a,b\in L$ $$[a,b]=\sum_{i,j,t}^{n,n,n^2}c_{t}[x_i,x_j]=\sum_{i,j,t}^{n,n,n^2}c_{t}\Bigl(\sum_{k=1}^{n}a_{ij}^kx_k\Bigr)$$ donde $c_t \in F$ ?

Answer 1

Un elemento típico de $L$ es $u=\sum_i c_i x_i$ Y supongo que otro elemento típico de $L$ es $v=\sum_j d_j x_j$ . Entonces $$[u,v]=\sum_{i,j}c_id_j[x_i,x_j] =\sum_k\left(\sum_{i,j}a_{i,j}^kc_id_j\right)x_k.$$ Esto no es más que la bilinealidad del soporte de Lie.

Answer 2

Significa que sólo hay una estructura de álgebra de Lie $[\cdot,\cdot]$ en $L$ para lo cual es cierto que $$(\forall i,j\in\{1,2,\ldots,n\}):[x_i,x_j]=\sum_{k=1}^na_{ij}^kx_k.$$ Esto se deduce del hecho de que $\{x_1,\ldots,x_n\}$ es una base y el soporte de Lie es bilineal.