Sus resultados hasta el momento son correctos y ya casi lo ha conseguido.
Obsérvese que la densidad de $X$ es simétrica con respecto a cero como en $\Pr\{ X < 0 \} = \Pr\{ X > 0 \} = \frac12$ . Mientras tanto, $X < 0$ en realidad significa $-1 < X < 0$ por definición, y de forma similar $X > 0$ significa implícitamente $0 < X < 1$ .
También hay que tener en cuenta que $Y$ tiene el mismo signo que $X$ . Es decir, $Y < 0$ siempre que $X < 0$ y cuando $X$ es positivo, entonces también lo es $Y$ .
Lo último que hay que tener en cuenta es que la densidad de $Y$ también es simétrica con respecto a cero. Esto se debe a $|X|+1$ con el rango de $[1,2]$ y el producto con el simétrico $X$ sólo produce una copia en el lado negativo. Por lo tanto, ya tenemos $\Pr\{ Y < 0 \} = \Pr\{ Y > 0 \} = \frac12$ antes de realizar cualquier cálculo.
En lo negativo $X$ lado, tenemos
\begin{align} \Pr\bigl\{ Y < y ~\big| ~X < 0 \bigr\} &= \Pr\Bigl\{ -1 < X < 0 ~~\& ~~X < \frac{1}{2} \left(1- \sqrt{1 - 4y} \right)\Bigr \} \\ & = \frac{1}{2} \left(1- \sqrt{1 - 4y} \right) - (-1) \end{align} donde ya sabías que $r_m \equiv \frac12 \left(1- \sqrt{1 - 4y} \right)$ es menor que cero, por lo que hacemos el $r_m -(-1)$ para tomar la longitud desde el punto final izquierdo (negativo) hasta $r_m$ como la probabilidad de la distribución uniforme.
Poniendo $\Pr\{ X < 0 \}$ atrás, incondicionalmente tenemos en el negativo $Y$ parte (ya que $Y$ sigue el signo de $X$ )
$$F_Y(y) = \frac12 \cdot \frac12 \left( 3 - \sqrt{1 - 4y} \right) \qquad \text{for}~~ y < 0$$
En el lado positivo, la FCD condicional (ignorando el lado negativo) es
\begin{align} \Pr\bigl\{ Y < y ~\big| ~X > 0 \bigr\} &= \Pr\Bigl\{ 0 < X < 1 ~~\& ~~X < \frac12 \left(-1 + \sqrt{1 + 4y} \right) \Bigr \} \\ & = \frac12 \left(-1 + \sqrt{1 + 4y} \right) - 0 \end{align} donde tomamos la longitud entre el punto final izquierdo (ahora cero) y $r_p \equiv \frac12 \left(-1 + \sqrt{1 + 4y} \right)$ que ya sabías que está entre $0$ y $1$ .
Ahora, incondicionalmente, ya no ignoramos el lado negativo y tenemos que poner las cosas en su sitio. A saber, ya hemos acumulado el $1/2$ masa de probabilidad de $y<0$ .
\begin{align} F_Y(y) &= \Pr\bigl\{ Y < \frac12 \bigr\} + \Pr\bigl\{ X > 0 \bigr\} \cdot \Pr\bigl\{ Y < y ~\big| ~X > 0 \bigr\} \\ &= \frac12 + \frac12 \cdot \frac12 \left(-1 + \sqrt{1 + 4y} \right) \\ & = \frac14 \left( 1 + \sqrt{1 + 4y} \right) \qquad \text{for}~~ y > 0 \end{align}
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Como ya se ha dicho, la densidad de $Y$ es simétrica (par) mientras que la función acumulativa es rotacionalmente simétrica (impar) con respecto a $(0,\frac12)$ . Esto se puede enfatizar utilizando el función del signo $Sgn(\cdot)$ que es impar, y el valor absoluto que es par.
\begin{align} f_Y(y) &\equiv \frac{d F_Y(y) }{ dy } = \frac1{2 \sqrt{ 1 + 4 |y| } } & &\text{for} ~~ -2 < y < 2 \\ F_Y(y) &= \frac12 - \frac{ Sgn(y) }4 \Bigl( 1 - \sqrt{1 + 4 |y|} \Bigr) & &\text{for} ~~ -2 < y < 2 \end{align} La densidad escrita en esta forma es obviamente una función par. En cuanto a la FCD, observe que la fucnión de signo (impar) que multiplica el paréntesis grande (par) es impar.
