Cardinalidad del conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\mathbb R$

Question

Estoy tratando de encontrar la cardinalidad del conjunto de todos los polinomios con coeficientes en . ¿Qué hay de malo en la siguiente prueba?

Dejemos que $f$ sea una función: $$f: \mathbb R[x] \to P(\mathbb R)$$ $$f(a_{0}+a_{1}x^{1}+...+a_{k}x^{k}) = \left \{ a_{0}, a_{1}, ..., a_{k} \right \}$$

Por ejemplo: $$f(4.3x+2.5) = \left \{ 4.3,2.5 \right \}$$

f no es obviamente inyectiva, pero es en . Lo que significa que $$|\mathbb R[x]]| \geq \left | P(R) \right | $$

¿Qué me falta?

Answer 1

Obsérvese que la cardinalidad de los polinomios de grado $0$ (Sólo coeficientes libres) es $|\mathbb{R}| = \mathfrak{c}$ (Simplemente mapeamos dichos polinomios a sus coeficientes libres).

La cardinalidad de los polinomios de grado $1$ es $|\mathbb{R} \times \mathbb{R}| = \mathfrak{c}$ .

La cardinalidad de los polinomios de grado $2$ es $|\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}| = \mathfrak{c}$

...

La cardinalidad de los polinomios de grado $n$ es $|\mathbb{R}^n| = \mathfrak{c}$

...

Su conjunto no es más que la unión contable de todos estos conjuntos de arriba, y por lo tanto su cardinalidad es también $\mathfrak{c}$ . (Véase aquí: Cardinalidad de la unión de ${{\aleph }_{0}}$ conjuntos disjuntos de cardinalidad $\mathfrak{c}$ )

Answer 2

De acuerdo, mira el intervalo $[-n,n]$ El número total de subconjuntos es $c$ ...ahora.los coeficientes provienen de uno de estos subconjuntos para algunos $n \in N$ . Así que es menos que $c* \aleph $ ...que sigue siendo $c$ La inclusión inversa es trivial, por lo que la cardinalidad del polinomio total es $c$ .